Construir o gráfico das funções definidas em IR:
f(x)= \begin{cases}-2 x+3 & \text { se } x \geqslant 1 \\\\ 1 & \text { se }-1<x<1 \\\\ 2+x & \text { se } x \leqslant-1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede para construir (ou seja, desenhar) o gráfico da função definida por partes
f(x)= \begin{cases} -2x+3 & \text{se } x\ge 1,\\[4pt] 1 & \text{se } -1<x<1,\\[4pt] 2+x & \text{se } x\le -1. \end{cases}
Informações dadas:
  • Há três expressões diferentes, cada uma válida em um intervalo diferente de x.
  • As desigualdades em x indicam se os extremos dos intervalos são incluídos ( \le,\ge) ou não ( <).
  • Precisamos representar graficamente cada ramo, marcar pontos abertos/fechados nas fronteiras e montar o gráfico completo.]

Passo 2

Primeiro identifiquemos claramente os três intervalos onde cada fórmula vale:
\text{I}_1:\\ x\le -1,\qquad \text{I}_2:\\\ -1<x<1,\qquad \text{I}_3:\\ x\ge 1.
Isso significa que para desenhar o gráfico teremos três pedaços: um para x\le -1, um para -1<x<1 e outro para x\ge 1. Em cada pedaço aplicamos a fórmula correspondente.

Passo 3

Vamos analisar o ramo da esquerda: a fórmula é \,f(x)=2+x\, para \,x\le -1.
  • Essa é uma reta de coeficiente angular (inclinação) 1 e intercepto em y igual a 2 (se estendêssemos para todos os x, a reta cruzaria o eixo y no ponto (0,2), embora aqui só valha para x\le -1).
  • Calculamos pontos fáceis para desenhar: em \,x=-1 temos f(-1)=2+(-1)=1,logo o ponto (-1,1) pertence ao gráfico e, como a condição é \le, esse ponto é marcado como fechado (ponto sólido).
  • Outro ponto útil: em \,x=-2 temos f(-2)=2+(-2)=0,ou seja o ponto (-2,0). Com dois pontos (-1,1) e (-2,0) já conseguimos traçar a reta para a região x\le-1.
Dica didática curta: para uma reta y=ax+b, a é a inclinação (quanto sobe/ desce quando x aumenta de 1) e b é onde a reta cruza o eixo y (em x=0). Aqui a=1 e b=2.

Passo 4

Agora o ramo do meio: a fórmula é \,f(x)=1\, para -1<x<1.
  • Isso é uma linha horizontal (constante) com valor y=1.
  • Como a condição é estrita ( -1<x<1), nos pontos x=-1 e x=1 esse ramo não inclui os extremos — então, olhando só para este pedaço, as extremidades seriam círculos abertos em (-1,1) e (1,1).
  • Para desenhar, basta traçar uma linha horizontal ao nível y=1 entre x=-1 e x=1, sem incluir as extremidades (círculos abertos).
Exemplo concreto: uma constante f(x)=c sempre dá uma linha horizontal; se c=1 desenhe a linha y=1.

Passo 5

Ramo da direita: a fórmula é \,f(x)=-2x+3\, para \,x\ge 1.
  • Essa é uma reta com inclinação -2 (ou seja, ao aumentar x de 1, y diminui em 2) e intercepto em y igual a 3.
  • Calculamos pontos práticos: em \,x=1 temos f(1)=-2\cdot1+3=1,portanto o ponto (1,1) pertence ao gráfico e, como a condição é \ge, esse ponto é fechado (ponto sólido).
  • Outro ponto: em \,x=2 temos f(2)=-2\cdot2+3=-1,então o ponto (2,-1) ajuda a traçar a reta. Com (1,1) e (2,-1) traçamos a reta para x\ge1.
Pequeno lembrete: para desenhar uma reta, dois pontos bastam.

Passo 6

Agora juntamos os três pedaços e tratamos dos detalhes nas fronteiras \,x=-1 e \,x=1.
  • No x=-1:
    • Ramo da esquerda dá (-1,1) e inclui o ponto (fechado).
    • Ramo do meio exclui (-1,1) (aberto).
    • Conclusão: no gráfico final há um ponto fechado em (-1,1); o segmento horizontal do meio chega até ali mas não o inclui (apenas um círculo aberto a partir do meio), porém como o ramo esquerdo inclui, o ponto aparece fechado.
  • No x=1:
    • Ramo do meio exclui (1,1) (aberto).
    • Ramo da direita inclui (1,1) (fechado).
    • Conclusão: no gráfico final há um ponto fechado em (1,1) (fornecido pelo ramo da direita).
Portanto os três pedaços se encontram nos pontos (-1,1) e (1,1), e esses pontos aparecem fechados no gráfico devido aos ramos externo esquerdo e direito, respectivamente.

Passo 7

Observações sobre continuidade e forma do gráfico:
  • A função é contínua em todos os pontos porque os limites laterais nas fronteiras coincidem com os valores (em x=-1 e x=1 o valor das três expressões é 1), então não há salto.
  • Porém não é diferenciável nas fronteiras: há “cantos” (ou quinas) porque os coeficientes angulares mudam de 1 (à esquerda) para 0 (no meio) em x=-1, e de 0 para -2 em x=1. Diferentes inclinações significam que a derivada à esquerda e à direita são diferentes.
  • Isso é verificado observando as inclinações: para x<-1 a inclinação é 1; para -1<x<1 a inclinação é 0; para x>1 a inclinação é -2.

Passo 8

Determinação do domínio e da imagem (conjunto de valores que a função assume):
  • Domínio: a função está definida para todos os x\in\mathbb{R} porque os três ramos cobrem (-\infty,-1]\cup(-1,1)\cup[1,\infty)=\mathbb{R}.
  • Imagem (range): o valor máximo que a função atinge é 1 (ocorre para todo -1\le x\le 1 na união dos ramos), e as retas exteriores vão para -\infty quando x\to\pm\infty. Logo a imagem é (-\infty,1].

Passo 9

Instruções rápidas para desenhar no papel (passo a passo prático):
  1. Trace eixos x e y.
  2. Marque os pontos-chave: (-2,0), (-1,1), (1,1), (2,-1).
  3. Desenhe a reta que liga (-2,0) a (-1,1) e continue essa reta para a esquerda (essa é a reta y=2+x, válida para x\le-1). Marque (-1,1) com ponto fechado.
  4. Desenhe a linha horizontal y=1 entre x=-1 e x=1; nas extremidades desenhe círculos abertos (mas lembre que os pontos fechados virão dos ramos exteriores).
  5. Desenhe a reta que passa por (1,1) e (2,-1) e continue para a direita (essa é a reta y=-2x+3, válida para x\ge1). Marque (1,1) com ponto fechado.
  6. Confira: os pontos (-1,1) e (1,1) devem ficar com aparência de preenchidos (fechados), o segmento do meio deve parecer contínuo entre eles.
Força aí — com esses passos você consegue rabiscar o gráfico certinho em 1–2 minutos!

Resposta

O gráfico é composto por três pedaços que se encontram em (-1,1) e (1,1):
  • Reta \,y=2+x\, para \,x\le -1, passando por (-1,1) (ponto fechado).
  • Segmento horizontal \,y=1\, para -1<x<1, com extremidades abertas em (-1,1) e (1,1).
  • Reta \,y=-2x+3\, para \,x\ge 1, passando por (1,1) (ponto fechado).
    Domínio: \mathbb{R}. Imagem: (-\infty,1].

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