Isso significa que para desenhar o gráfico teremos três pedaços: um para x\le -1, um para -1<x<1 e outro para x\ge 1. Em cada pedaço aplicamos a fórmula correspondente.
Passo 3
Vamos analisar o ramo da esquerda: a fórmula é \,f(x)=2+x\, para \,x\le -1.
Essa é uma reta de coeficiente angular (inclinação) 1 e intercepto em y igual a 2 (se estendêssemos para todos os x, a reta cruzaria o eixo y no ponto (0,2), embora aqui só valha para x\le -1).
Calculamos pontos fáceis para desenhar: em \,x=-1 temosf(-1)=2+(-1)=1,logo o ponto (-1,1) pertence ao gráfico e, como a condição é \le, esse ponto é marcado como fechado (ponto sólido).
Outro ponto útil: em \,x=-2 temosf(-2)=2+(-2)=0,ou seja o ponto (-2,0). Com dois pontos (-1,1) e (-2,0) já conseguimos traçar a reta para a região x\le-1.
Dica didática curta: para uma reta y=ax+b, a é a inclinação (quanto sobe/ desce quando x aumenta de 1) e b é onde a reta cruza o eixo y (em x=0). Aqui a=1 e b=2.
Passo 4
Agora o ramo do meio: a fórmula é \,f(x)=1\, para -1<x<1.
Isso é uma linha horizontal (constante) com valor y=1.
Como a condição é estrita (-1<x<1), nos pontos x=-1 e x=1 esse ramo não inclui os extremos — então, olhando só para este pedaço, as extremidades seriam círculos abertos em (-1,1) e (1,1).
Para desenhar, basta traçar uma linha horizontal ao nível y=1 entre x=-1 e x=1, sem incluir as extremidades (círculos abertos).
Exemplo concreto: uma constante f(x)=c sempre dá uma linha horizontal; se c=1 desenhe a linha y=1.
Passo 5
Ramo da direita: a fórmula é \,f(x)=-2x+3\, para \,x\ge 1.
Essa é uma reta com inclinação -2 (ou seja, ao aumentar x de 1, y diminui em 2) e intercepto em y igual a 3.
Calculamos pontos práticos: em \,x=1 temosf(1)=-2\cdot1+3=1,portanto o ponto (1,1) pertence ao gráfico e, como a condição é \ge, esse ponto é fechado (ponto sólido).
Outro ponto: em \,x=2 temosf(2)=-2\cdot2+3=-1,então o ponto (2,-1) ajuda a traçar a reta. Com (1,1) e (2,-1) traçamos a reta para x\ge1.
Pequeno lembrete: para desenhar uma reta, dois pontos bastam.
Passo 6
Agora juntamos os três pedaços e tratamos dos detalhes nas fronteiras \,x=-1 e \,x=1.
No x=-1:
Ramo da esquerda dá (-1,1) e inclui o ponto (fechado).
Ramo do meio exclui (-1,1) (aberto).
Conclusão: no gráfico final há um ponto fechado em (-1,1); o segmento horizontal do meio chega até ali mas não o inclui (apenas um círculo aberto a partir do meio), porém como o ramo esquerdo inclui, o ponto aparece fechado.
No x=1:
Ramo do meio exclui (1,1) (aberto).
Ramo da direita inclui (1,1) (fechado).
Conclusão: no gráfico final há um ponto fechado em (1,1) (fornecido pelo ramo da direita).
Portanto os três pedaços se encontram nos pontos (-1,1) e (1,1), e esses pontos aparecem fechados no gráfico devido aos ramos externo esquerdo e direito, respectivamente.
Passo 7
Observações sobre continuidade e forma do gráfico:
A função é contínua em todos os pontos porque os limites laterais nas fronteiras coincidem com os valores (em x=-1 e x=1 o valor das três expressões é 1), então não há salto.
Porém não é diferenciável nas fronteiras: há “cantos” (ou quinas) porque os coeficientes angulares mudam de 1 (à esquerda) para 0 (no meio) em x=-1, e de 0 para -2 em x=1. Diferentes inclinações significam que a derivada à esquerda e à direita são diferentes.
Isso é verificado observando as inclinações: para x<-1 a inclinação é 1; para -1<x<1 a inclinação é 0; para x>1 a inclinação é -2.
Passo 8
Determinação do domínio e da imagem (conjunto de valores que a função assume):
Domínio: a função está definida para todos os x\in\mathbb{R} porque os três ramos cobrem (-\infty,-1]\cup(-1,1)\cup[1,\infty)=\mathbb{R}.
Imagem (range): o valor máximo que a função atinge é 1 (ocorre para todo -1\le x\le 1 na união dos ramos), e as retas exteriores vão para -\infty quando x\to\pm\infty. Logo a imagem é(-\infty,1].
Passo 9
Instruções rápidas para desenhar no papel (passo a passo prático):
Trace eixos x e y.
Marque os pontos-chave: (-2,0), (-1,1), (1,1), (2,-1).
Desenhe a reta que liga (-2,0) a (-1,1) e continue essa reta para a esquerda (essa é a reta y=2+x, válida para x\le-1). Marque (-1,1) com ponto fechado.
Desenhe a linha horizontal y=1 entre x=-1 e x=1; nas extremidades desenhe círculos abertos (mas lembre que os pontos fechados virão dos ramos exteriores).
Desenhe a reta que passa por (1,1) e (2,-1) e continue para a direita (essa é a reta y=-2x+3, válida para x\ge1). Marque (1,1) com ponto fechado.
Confira: os pontos (-1,1) e (1,1) devem ficar com aparência de preenchidos (fechados), o segmento do meio deve parecer contínuo entre eles.
Força aí — com esses passos você consegue rabiscar o gráfico certinho em 1–2 minutos!
Resposta
O gráfico é composto por três pedaços que se encontram em (-1,1) e (1,1):
Reta \,y=2+x\, para \,x\le -1, passando por (-1,1) (ponto fechado).
Segmento horizontal \,y=1\, para -1<x<1, com extremidades abertas em (-1,1) e (1,1).
Reta \,y=-2x+3\, para \,x\ge 1, passando por (1,1) (ponto fechado).
Domínio: \mathbb{R}. Imagem: (-\infty,1].