Mostre que:
para
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a igualdade
e também a forma somatória indicada (com período de validade
). Dados relevantes: a expressão envolve
de
e potências de
. A tarefa é derivar essa série e justificar convergência no intervalo indicado.
Passo 2
Fazemos uma substituição simples para clarear a expressão. Defina
Observe que então
Também verifique o módulo de
. Para
temos
, logo
ou seja
. (Na verdade a condição necessária para a série que usaremos é
, que ocorre já para
; mas o enunciado exige
, então essa condição está satisfeita.)
Passo 3
Vamos obter uma expansão em série conhecida e simples: a série geométrica alternada. Para
vale
Justificação rápida: a soma parcial da geométrica é
e quando
o termo
quando
, dando a igualdade acima.
Passo 4
Integramos em relação a
a expressão da Passo 3 de
até
. A integral do lado esquerdo é
No lado direito podemos integrar termo a termo (justificável porque a série geométrica converge uniformemente em qualquer segmento
com
); integrando cada termo obtemos
Reindexando com
(portanto
),
Esta é a expansão de Taylor de
ao redor de
, válida para
.
Passo 5
Volte à substituição
. Como vimos, para
temos
, então podemos aplicar a série:
Mas
, logo
Escrevendo os primeiros termos explicitamente (substituindo
) obtemos
que é exatamente a forma pedida. Note que a convergência está garantida por
, condição satisfeita para
(e mesmo para
).
Passo 6
Resumo didático para a prova (numa frase curta, como dica): faça a substituição
, use a série geométrica
para
e integre termo a termo para obter a expansão de
; depois volte para
.