Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
.
Passo 1
O enunciado pede para “construir o gráfico” da função
.
Conteúdo: estudo de função real envolvendo domínio, limites, derivadas (monotonia e extremos) e concavidade.
Precisaremos de:
– Determinar o domínio de .
– Calcular os limites em e
.
– Encontrar , achar pontos críticos e estudar o sinal de
(monotonia e extremos).
– Calcular e estudar a concavidade.
– Reunir essas informações para esboçar o gráfico.
Conteúdo: estudo de função real envolvendo domínio, limites, derivadas (monotonia e extremos) e concavidade.
Precisaremos de:
– Determinar o domínio de
– Calcular os limites em
– Encontrar
– Calcular
– Reunir essas informações para esboçar o gráfico.
Passo 2
Domínio e interceptos:
O logaritmo exige
. Portanto
O logaritmo
Para interceptos com os eixos:
– Eixo : ocorre em
, mas
não pertence ao domínio. Não há intercepto sobre o eixo
.
– Eixo : basta resolver
– Eixo
– Eixo
o que dá
e, assim,
. Logo há cruzamento em
.
Passo 3
Limites nas extremidades do domínio:
.
:
Aplicando L’Hôpital (
,
):
Ou seja, a curva tende a
por baixo.
.
:
Passo 4
Derivada primeira e monotonia:
Resolver
:
– Para
,
então
: função decrescente.
– Para ,
então
: função crescente.
Logo, é ponto de mínimo global.
– Para
Logo,
Valor mínimo:
Passo 5
Derivada segunda e concavidade:
Portanto
é estritamente convexa (concavidade para cima) em todo o domínio.
Passo 6
Resumo para o esboço:
- Domínio
. -
. A curva parte de zero vindo de baixo. - Ponto de mínimo em
. - Cruzamento com o eixo
em . -
. - Função decrescente até
, crescente depois, e sempre convexa.
A seguir o esboço qualitativo:
Resposta
O gráfico de
no domínio
sai de
(por baixo) quando
, decresce até o mínimo
, sobe cortando o eixo
em
e segue para
, sendo estritamente convexa.