Construir o gráfico das seguintes funções logarítmicas.
y=x ln x.

Passo 1

O enunciado pede para “construir o gráfico” da função y = x ln x.
Conteúdo: estudo de função real envolvendo domínio, limites, derivadas (monotonia e extremos) e concavidade.
Precisaremos de:
– Determinar o domínio de f(x)=xln x.
– Calcular os limites em xto0^+ e xto+infty.
– Encontrar f'(x), achar pontos críticos e estudar o sinal de f' (monotonia e extremos).
– Calcular f''(x) e estudar a concavidade.
– Reunir essas informações para esboçar o gráfico.

Passo 2

Domínio e interceptos:
O logaritmo ln x exige x>0. Portanto
Domínio=!(0,infty) í
Para interceptos com os eixos:
– Eixo y: ocorre em x=0, mas x=0 não pertence ao domínio. Não há intercepto sobre o eixo y.
– Eixo x: basta resolver
xln x=0
o que dá ln x=0 e, assim, x=1. Logo há cruzamento em (1,0).

Passo 3

Limites nas extremidades do domínio:
1. xto0^+:
limxto0^+ x ln x = limxto0^+ ln x1/x
Aplicando L’Hôpital ( ln x to -infty, 1/x to +infty):
limxto0^+ x ln x = limxto0^+ 1/x-1/x^2 = limxto0^+ (-x) = 0^-
Ou seja, a curva tende a 0 por baixo.
2. xto+infty:
limxto+infty x ln x = +infty

Passo 4

Derivada primeira e monotonia:
f(x)=xln x, f'(x)=1cdotln x + xcdot1x =ln x+1
Resolver f'(x)=0:
ln x+1=0 Rightarrow ln x=-1 Rightarrow x=1e
– Para 0<x<1/e, ln x<-1 então f'(x)<0: função decrescente.
– Para x>1/e, ln x>-1 então f'(x)>0: função crescente.
Logo, x=tfrac1e é ponto de mínimo global.
Valor mínimo:
fl(tfrac1er) =1eln!l(tfrac1er) =1ecdot(-1) =-1e

Passo 5

Derivada segunda e concavidade:
f''(x)=ddx(ln x+1)=1x>0 forall x>0
Portanto f é estritamente convexa (concavidade para cima) em todo o domínio.

Passo 6

Resumo para o esboço:
  • Domínio .
  • . A curva parte de zero vindo de baixo.
  • Ponto de mínimo em .
  • Cruzamento com o eixo em .
  • .
  • Função decrescente até , crescente depois, e sempre convexa.
A seguir o esboço qualitativo:

Resposta

O gráfico de y=xln x no domínio (0,infty) sai de 0 (por baixo) quando xto0^+, decresce até o mínimo l(tfrac1e,-tfrac1er), sobe cortando o eixo x em (1,0) e segue para +infty, sendo estritamente convexa.

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