Sejam as funções vetoriais
& f(t)=sin (t) i+e^3 t j+3 k ; & g(t)=t^3 i+5 j+cos (2 t) k
e h(t)=2 i+4 t j
Calcule:
(f(t) cdot g(t))^prime

Passo 1

O enunciado dá duas funções vetoriais
f(t)=sin(t),i+e^3t,j+3,k e
g(t)=t^3,i+5,j+cos(2t),k,
e pede a derivada do produto escalar f(t)cdotg(t).
Conteúdo usado: produto escalar de funções vetoriais e regra de derivação de soma e produto de funções escalares.

Passo 2

Primeiro calculamos o produto escalar
p(t)=f(t)cdotg(t) =l(sin(t)r)l(t^3r)+l(e^3tr)l(5r)+l(3r)l(cos(2t)r)
Isso fica
p(t)=t^3sin(t)+5e^3t+3cos(2t)

Passo 3

Agora derivamos p(t) termo a termo:
  1. Para t^3sin(t) usamos regra do produto:
ddtl(t^3sin(t)r) =3t^2sin(t)+t^3cos(t)
  1. Para 5e^3t usamos a regra da cadeia:
ddtl(5e^3tr) =5cdot3e^3t=15e^3t
  1. Para 3cos(2t) também pela cadeia:
ddtl(3cos(2t)r) =3cdot(-sin(2t))cdot2=-6sin(2t)

Resposta

(f(t)cdotg(t))' =3t^2sin(t)+t^3cos(t)+15e^3t-6sin(2t)

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