Construir o gráfico das seguintes funções com mais de uma sentença:
f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1, \text { se } x \leq 0 \\\\ -x, \text { se } x>0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede: construir (desenhar / descrever) o gráfico da função por partes
f(x)=\begin{cases} x+1, & \text{se } x\le 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x>0. \end{cases}
Informações fornecidas e o que é pedido:
  • A função é definida por duas fórmulas diferentes dependendo do sinal de x.
  • Precisa-se desenhar as duas partes e indicar como elas se unem em x=0.
  • Não há outra informação (como figura prévia), então vamos construir o gráfico a partir das expressões.]

Passo 2

Analisando a primeira parte: \,f(x)=x+1 para \,x\le 0.
  • Essa é uma reta no formato inclinação-intercepto: \,y=mx+b com m=1 (inclinação) e b=1 (intercepto em y).
  • Para entender como desenhar, calcule alguns pontos fáceis:
    • Para x=-2: f(-2)=(-2)+1=-1.
    • Para x=-1: f(-1)=(-1)+1=0.
    • Para x=0: f(0)=0+1=1.
  • Conclusão prática para o desenho: a reta passa por (-2,-1), (-1,0) e (0,1). Como o domínio dessa parte inclui x=0 ( x\le 0), em (0,1) deve aparecer um ponto cheio (ponto fechado).

Passo 3

Analisando a segunda parte: \,f(x)=-x para \,x>0.
  • Também é uma reta: y=-x tem inclinação m=-1 e intercepto b=0 (passa pela origem).
  • Calcule alguns pontos:
    • Para x=1: f(1)=-1.
    • Para x=2: f(2)=-2.
    • Quando x tende a 0^+: f(x)\to 0.
  • Importante: a fórmula vale somente para x>0, portanto o ponto (0,0) NÃO pertence ao gráfico — nesse ponto deve ficar um círculo aberto (ponto vazio), porque x=0 não está incluído nesta parte.

Passo 4

Comportamento no ponto de junção x=0 (continuidade / descontinuidade).
  • Valor pelo lado esquerdo (avaliando a parte com x\le 0): \,f(0)=1.
  • Limite pela direita (avaliando -x quando x\to 0^+): \lim_{x\to 0^+} -x = 0.
  • Como \,f(0)=1 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=0, há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. No gráfico isso aparece como: ponto fechado em (0,1) e ponto aberto em (0,0).

Passo 5

Domínio, imagem (contraste) e interceptos — elementos que ajudam a conferir o desenho.
  • Domínio: todos os reais, isto é \,\mathbb{R}, porque ambas as fórmulas cobrem todos os x.
  • Interceptos:
    • Intercepto em y: ocorre em x=0. Como f(0)=1, o intercepto em y é (0,1).
    • Intercepto em x (solução de f(x)=0): pela primeira parte x+1=0\Rightarrow x=-1, que está em x\le 0. Pela segunda parte -x=0\Rightarrow x=0 não é válido pois x>0 não inclui 0. Logo o único intercepto x é (-1,0).
  • Imagem (conjunto de valores de f):
    • Pela parte \,x+1 com x\le 0 os valores vão de -\infty até 1\] (porque em \(x=0 atinge 1 e ao ir para -\infty a reta tende a -\infty).
    • Pela parte -x com x>0 os valores são (-\infty,0) (valores negativos estritamente, aproximando-se de 0 por baixo).
    • União das duas imagens dá (-\infty,1]. Observação: o valor 0 pertence à imagem porque f(-1)=0.)

Passo 6

Monotonicidade e forma geométrica — como a curva se comporta em cada intervalo.
  • Em (-\infty,0]: a função é a reta de inclinação +1, logo é crescente nessa região.
  • Em (0,\infty): a função é a reta de inclinação -1, logo é decrescente nessa região.
  • Geometricamente: à esquerda de x=0 tem-se uma reta ascendente que atinge (0,1); à direita tem-se uma reta descendente que passa arbitrariamente perto de (0,0) mas com esse ponto vazio.

Passo 7

Instrução passo a passo prática para desenhar o gráfico (faça no papel):
  1. Desenhe os eixos x e y e marque alguns graduados (por exemplo -2,-1,0,1,2).
  2. Marque e ligue com uma reta os pontos para a parte esquerda:
    • Plote (-2,-1), (-1,0) e (0,1). Desenhe a reta que passa por eles estendendo para a esquerda e coloque uma seta para indicar que continua até -\infty.
    • Em (0,1) coloque um ponto preenchido (ponto fechado).
  3. Plote a parte direita:
    • Desenhe a reta y=-x para x>0. Por exemplo plote (1,-1) e (2,-2) e ligue-os estendendo para a direita com uma seta.
    • Em (0,0) deixe um pequeno círculo não preenchido (ponto aberto), indicando que esse ponto não pertence ao gráfico.
  4. Confira se o gráfico mostra um salto entre os pontos (0,1) e a vizinhança de (0,0).

Passo 8

Resumo pedagógico rápido para a prova (o que decorar/checar rápido):
  • Identificar cada ramo e sua condição ( \,x\le 0 ou \,x>0).
  • Para cada ramo, reconhecer que são retas: anotar inclinação e intercepto e calcular 2 ou 3 pontos para traçar.
  • Verificar inclusão/exclusão em pontos limites (usar o sinal de desigualdade).
  • Checar continuidade no ponto de junção calculando f(0), \lim_{x\to 0^-} f(x) e \lim_{x\to 0^+} f(x).

Resposta

O gráfico é a união da reta y=x+1 para x\le 0 e da reta y=-x para x>0; há um ponto fechado em (0,1) (porque f(0)=1) e um ponto aberto em (0,0) (porque o ramo direito não inclui x=0), mostrando uma descontinuidade por salto em x=0.
O domínio é \mathbb{R}, a imagem é (-\infty,1]; o único intercepto em x é (-1,0), e a função é crescente em (-\infty,0] e decrescente em (0,\infty).

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