Construir o gráfico das seguintes funções com mais de uma sentença: f(x)=\left\{\begin{array}{c}x+1, \text { se } x \leq 0 \\\\ -x, \text { se } x>0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede: construir (desenhar / descrever) o gráfico da função por partes
A função é definida por duas fórmulas diferentes dependendo do sinal de x.
Precisa-se desenhar as duas partes e indicar como elas se unem em x=0.
Não há outra informação (como figura prévia), então vamos construir o gráfico a partir das expressões.]
Passo 2
Analisando a primeira parte: \,f(x)=x+1 para \,x\le 0.
Essa é uma reta no formato inclinação-intercepto: \,y=mx+b com m=1 (inclinação) e b=1 (intercepto em y).
Para entender como desenhar, calcule alguns pontos fáceis:
Para x=-2: f(-2)=(-2)+1=-1.
Para x=-1: f(-1)=(-1)+1=0.
Para x=0: f(0)=0+1=1.
Conclusão prática para o desenho: a reta passa por (-2,-1), (-1,0) e (0,1). Como o domínio dessa parte inclui x=0 (x\le 0), em (0,1) deve aparecer um ponto cheio (ponto fechado).
Passo 3
Analisando a segunda parte: \,f(x)=-x para \,x>0.
Também é uma reta: y=-x tem inclinação m=-1 e intercepto b=0 (passa pela origem).
Calcule alguns pontos:
Para x=1: f(1)=-1.
Para x=2: f(2)=-2.
Quando x tende a 0^+: f(x)\to 0.
Importante: a fórmula vale somente para x>0, portanto o ponto (0,0) NÃO pertence ao gráfico — nesse ponto deve ficar um círculo aberto (ponto vazio), porque x=0 não está incluído nesta parte.
Passo 4
Comportamento no ponto de junção x=0 (continuidade / descontinuidade).
Valor pelo lado esquerdo (avaliando a parte com x\le 0): \,f(0)=1.
Limite pela direita (avaliando -x quando x\to 0^+): \lim_{x\to 0^+} -x = 0.
Como \,f(0)=1 e \lim_{x\to 0^+} f(x)=0, há uma descontinuidade do tipo salto em x=0. No gráfico isso aparece como: ponto fechado em (0,1) e ponto aberto em (0,0).
Passo 5
Domínio, imagem (contraste) e interceptos — elementos que ajudam a conferir o desenho.
Domínio: todos os reais, isto é \,\mathbb{R}, porque ambas as fórmulas cobrem todos os x.
Interceptos:
Intercepto em y: ocorre em x=0. Como f(0)=1, o intercepto em y é (0,1).
Intercepto em x (solução de f(x)=0): pela primeira parte x+1=0\Rightarrow x=-1, que está em x\le 0. Pela segunda parte -x=0\Rightarrow x=0 não é válido pois x>0 não inclui 0. Logo o único intercepto x é (-1,0).
Imagem (conjunto de valores de f):
Pela parte \,x+1 com x\le 0 os valores vão de -\infty até 1\] (porque em \(x=0 atinge 1 e ao ir para -\infty a reta tende a -\infty).
Pela parte -x com x>0 os valores são (-\infty,0) (valores negativos estritamente, aproximando-se de 0 por baixo).
União das duas imagens dá (-\infty,1]. Observação: o valor 0 pertence à imagem porque f(-1)=0.)
Passo 6
Monotonicidade e forma geométrica — como a curva se comporta em cada intervalo.
Em (-\infty,0]: a função é a reta de inclinação +1, logo é crescente nessa região.
Em (0,\infty): a função é a reta de inclinação -1, logo é decrescente nessa região.
Geometricamente: à esquerda de x=0 tem-se uma reta ascendente que atinge (0,1); à direita tem-se uma reta descendente que passa arbitrariamente perto de (0,0) mas com esse ponto vazio.
Passo 7
Instrução passo a passo prática para desenhar o gráfico (faça no papel):
Desenhe os eixos x e y e marque alguns graduados (por exemplo -2,-1,0,1,2).
Marque e ligue com uma reta os pontos para a parte esquerda:
Plote (-2,-1), (-1,0) e (0,1). Desenhe a reta que passa por eles estendendo para a esquerda e coloque uma seta para indicar que continua até -\infty.
Em (0,1) coloque um ponto preenchido (ponto fechado).
Plote a parte direita:
Desenhe a reta y=-x para x>0. Por exemplo plote (1,-1) e (2,-2) e ligue-os estendendo para a direita com uma seta.
Em (0,0) deixe um pequeno círculo não preenchido (ponto aberto), indicando que esse ponto não pertence ao gráfico.
Confira se o gráfico mostra um salto entre os pontos (0,1) e a vizinhança de (0,0).
Passo 8
Resumo pedagógico rápido para a prova (o que decorar/checar rápido):
Identificar cada ramo e sua condição (\,x\le 0 ou \,x>0).
Para cada ramo, reconhecer que são retas: anotar inclinação e intercepto e calcular 2 ou 3 pontos para traçar.
Verificar inclusão/exclusão em pontos limites (usar o sinal de desigualdade).
Checar continuidade no ponto de junção calculando f(0), \lim_{x\to 0^-} f(x) e \lim_{x\to 0^+} f(x).
Resposta
O gráfico é a união da reta y=x+1 para x\le 0 e da reta y=-x para x>0; há um ponto fechado em (0,1) (porque f(0)=1) e um ponto aberto em (0,0) (porque o ramo direito não inclui x=0), mostrando uma descontinuidade por salto em x=0.
O domínio é \mathbb{R}, a imagem é (-\infty,1]; o único intercepto em x é (-1,0), e a função é crescente em (-\infty,0] e decrescente em (0,\infty).