Usando as regras de derivação estudadas, derive as seguintes funções:
y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada da função. A função dada é:
y=\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x^{3}}.
Então a pergunta é: qual é y'=\dfrac{dy}{dx} para essa função?

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever as frações como potências de x com expoente negativo — isso facilita muito a derivação com a regra de potência. Lembre que
\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}.
Aplicando isso à função:
y=x^{-1}+x^{-2}-x^{-3}.

Passo 3

Agora vamos lembrar a regra de potência (essa é a ferramenta principal aqui). A regra diz que para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl(x^{n}\bigr)=n\,x^{n-1}.
O que isso significa, em palavras simples: para derivar x^{n} você pega o expoente n e multiplica pela mesma potência com o expoente diminuído de uma unidade, n-1. Essa regra vale também quando n é negativo (como é o nosso caso).

Passo 4

Aplicando a regra termo a termo (a derivada é linear, então \dfrac{d}{dx}(u+v-w)=u'+v'-w'):
Derivada do primeiro termo x^{-1}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-1}\bigr)=(-1)\,x^{-2}=-x^{-2}.
Derivada do segundo termo x^{-2}:
\frac{d}{dx}\bigl(x^{-2}\bigr)=(-2)\,x^{-3}=-2x^{-3}.
Derivada do terceiro termo -x^{-3}:
\frac{d}{dx}\bigl(-x^{-3}\bigr)=-\bigl((-3)\,x^{-4}\bigr)=+3x^{-4}.

Passo 5

Agora somamos os resultados dos três termos:
y'=-x^{-2}-2x^{-3}+3x^{-4}.
Podemos escrever tudo com um único denominador para ficar mais limpinho. Como x^{-2}=\dfrac{1}{x^{2}}, x^{-3}=\dfrac{1}{x^{3}} e x^{-4}=\dfrac{1}{x^{4}}, trazendo para o denominador comum x^{4} obtemos:
y'=\frac{-x^{2}-2x+3}{x^{4}}.

Resposta

y'=\frac{-x^{2}-2x+3}{x^{4}}

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