A equivalência entre as escalas de temperatura geralmente é obtida por meio de uma função polinomial do 1^{\circ} grau, ou seja, uma função da forma y=a \cdot x+b. Um grupo de estudantes da escola politécnica da PUCRS desenvolveu uma nova unidade de medida para temperaturas: o grau Otavius.
A correspondência entre a escala Otavius (O) e a escala Celsius (C) é a seguinte:
{ }^{\circ} \mathrm{O} { }^{\circ} \mathrm{C}
6 18
60 36
Sendo f a função que expressa a temperatura em Celsius (C) em função da temperatura em Otavius) determine a lei dessa função.

Passo 1

O enunciado dá a correspondência entre a escala Otavius e a escala Celsius em dois pontos (peguei estes números da tabela do enunciado):
  • Para 6 graus Otavius corresponde 18 graus Celsius.
  • Para 60 graus Otavius corresponde 36 graus Celsius.
O que se pede: determinar a lei da função f que expressa a temperatura em Celsius em função da temperatura em Otavius. Isto é, achar a função afim de 1^{\circ} grau da forma
f(x)=a\cdot x + b,
onde x é a temperatura em graus Otavius ( {}^{\circ}O) e f(x) é a temperatura correspondente em graus Celsius ( {}^{\circ}C).

Passo 2

Modelo e ideia para resolver (aula rápida e prática).
  • Uma função afim f(x)=a x + b é uma reta no plano. Os parâmetros:
    • a é a inclinação (ou coeficiente angular): diz quanto a saída f(x) muda quando x aumenta em 1 unidade.
    • b é o coeficiente linear (intercepto): é o valor de f(0), ou seja, a temperatura em Celsius quando x=0 (Otavius).
  • Para determinar uma reta basta conhecer dois pontos por onde ela passa. Temos os dois pares (x_1,y_1)=(6,18) e (x_2,y_2)=(60,36).
  • O coeficiente angular a pode ser calculado pela razão das diferenças (variação de y dividido pela variação de x):
a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

Passo 3

Calcular o coeficiente angular a aplicando a fórmula com os dados da tabela:
a=\frac{36-18}{60-6}=\frac{18}{54}=\frac{1}{3}.
Interpretação simples: para cada aumento de 1 grau Otavius, a temperatura em Celsius aumenta em \tfrac{1}{3} grau.

Passo 4

Determinar o coeficiente linear b. Usar um dos pontos e substituir na fórmula f(x)=a x+b. Vou usar o ponto (6,18):
18 = \frac{1}{3}\cdot 6 + b.
Calcule o produto:
\frac{1}{3}\cdot 6 = 2,
portanto
18 = 2 + b \quad\Rightarrow\quad b = 18-2 = 16.
Vou verificar com o outro ponto (60,36) para checar:
f(60)=\frac{1}{3}\cdot 60 + 16 = 20 + 16 = 36,
que confere com o dado dado. Logo a reta está correta.

Passo 5

Escrever a lei final da função e interpretar de forma prática:
f(x)=\frac{1}{3}x + 16,
onde x é a temperatura em {}^{\circ}O e f(x) dá a temperatura equivalente em {}^{\circ}C.
Interpretação: temperatura em Celsius = um terço da temperatura em Otavius mais 16. Está pronta para usar na prova — plugue x e calcule sem complicação!

Resposta

f(x)=\dfrac{1}{3}x+16

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