Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS:
Passo 1
O enunciado dá a posição do oscilador harmônico simples (OHS) em função do tempo:
O pedido é “construir gráficos em função do tempo” — vou interpretar isso como construir (ou fornecer tudo que é necessário para traçar) os gráficos de:
- posição
versus tempo ; - velocidade
versus tempo ; - aceleração
versus tempo .
Informações relevantes dadas:
- Amplitude:
(unidade de comprimento). - Frequência angular:
(em ). - A função é do tipo senoidal sem fase inicial (fase
).
Passo 2
Vamos rever a forma geral e as fórmulas úteis (curtinha, tipo aula-mão-na-massa):
- Um OHS com fase zero tem posição
. Aqui é a amplitude (valor máximo do deslocamento), é a frequência angular (em ). - Período:
. O período é o tempo que leva para a oscilação se repetir. - Frequência (ciclos por segundo):
. - Velocidade: derivando a posição em relação a
,
Aqui
.
- Aceleração: derivando novamente,
Aqui
.
Essas fórmulas são fundamentais para traçar os três gráficos:
é senóide,
é cosseno com amplitude
, e
é senóide negativa com amplitude
.
Passo 3
Aplicando os valores dados:
- Amplitude:
- Frequência angular:
- Período:
- Frequência:
- Amplitude da velocidade máxima:
- Amplitude da aceleração máxima:
Passo 4
Derivações (mostrando passo a passo):
- Partindo de
:
Substituindo
e
:
- Segunda derivada:
Substituindo:
Passo 5
Identificação dos instantes importantes (útil para marcar o gráfico):
- Zeros de
: quando com . Ou seja, zeros em . - Máximo de
: quando . Primeiro máximo em com . - Mínimo de
: quando . Primeiro mínimo em com . - Máximo de
: ocorre quando ; em temos . - Observe a relação
: o gráfico de aceleração é a mesma forma do deslocamento multiplicada por .
Passo 6
Pontos práticos (valor numérico em pontos uniformes dentro de um período
) — use estes pontos para traçar as curvas com régua ou software. Tomei os tempos
. Lembrando que
e
nestes pontos têm valores simples:
Tabela (aprox. com 5 dígitos, usar vírgula decimal):
-
-
-
(aqui ) -
-
(aqui ) -
-
(aqui ) -
-
(aqui ) -
-
-
-
-
-
-
-
(fim do período) -
Use essa tabela como pontos de amostra para ligar com uma curva suave — vai dar a senóide, o cosseno e a senóide invertida.
Passo 7
Como traçar os gráficos (instruções práticas):
- Escolha um eixo
horizontal de até (ou até se quiser ver duas oscilações). Aqui . - Para
: eixo vertical de aproximadamente m (porque amplitude é m — deixe margem). - Marque
em intervalos como e marque valores de da tabela. - Ligue os pontos suavemente: começará em
, sobe até em , volta a em , vai a em , e retorna a em .
- Marque
- Para
: eixo vertical de aproximadamente m/s (max m/s). - Em
tem , vai a zero em , a em , etc. O gráfico é um cosseno.
- Em
- Para
: eixo vertical de aproximadamente m/s^2 (max m/s^2). - Observe que
tem mesma forma que posição ampliada pelo fator : verifique numericamente (por exemplo, em , ).
- Observe que
Dica prática: se usar papel milimetrado, uma boa escala para
é 1 quadradinho =
m (5 mm) — assim amplitude 0,05 m ocupa 10 quadradinhos; para
1 quadradinho =
s funciona bem para ver um período.
Passo 8
Interpretação rápida (ajuda na prova):
- Comece sempre identificando
e . Com calcule e marque no eixo do tempo os pontos para posicionar máximos, zeros e mínimos. - Derive uma vez para obter velocidade (cosseno) e outra para obter aceleração (seno invertido). Use as relações de amplitude
e para escalar os eixos. - Verifique a relação
como checagem rápida dos seus valores numéricos.