Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS:
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\left(5,00.10^{-2}\right) \operatorname{sen}(2,00 t)

Passo 1

O enunciado dá a posição do oscilador harmônico simples (OHS) em função do tempo:
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}(2,00\,t).
O pedido é “construir gráficos em função do tempo” — vou interpretar isso como construir (ou fornecer tudo que é necessário para traçar) os gráficos de:
  • posição x(t) versus tempo t;
  • velocidade v(t)=\dfrac{dx}{dt} versus tempo t;
  • aceleração a(t)=\dfrac{d^{2}x}{dt^{2}} versus tempo t.
Informações relevantes dadas:
  • Amplitude: A=5,00\cdot10^{-2} (unidade de comprimento).
  • Frequência angular: \omega=2,00 (em \text{s}^{-1}).
  • A função é do tipo senoidal sem fase inicial (fase \varphi=0).

Passo 2

Vamos rever a forma geral e as fórmulas úteis (curtinha, tipo aula-mão-na-massa):
  • Um OHS com fase zero tem posição \;x(t)=A\sin(\omega t)\;. Aqui \;A\; é a amplitude (valor máximo do deslocamento), \;\omega\; é a frequência angular (em \text{s}^{-1}).
  • Período: \;T=\dfrac{2\pi}{\omega}\;. O período é o tempo que leva para a oscilação se repetir.
  • Frequência (ciclos por segundo): \;f=\dfrac{\omega}{2\pi}=\dfrac{1}{T}\;.
  • Velocidade: derivando a posição em relação a t,
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t).
Aqui \;v_{\max}=A\omega\;.
  • Aceleração: derivando novamente,
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A\omega^{2}\sin(\omega t)=-\omega^{2}x(t).
Aqui \;a_{\max}=A\omega^{2}\;.
Essas fórmulas são fundamentais para traçar os três gráficos: x(t) é senóide, v(t) é cosseno com amplitude A\omega, e a(t) é senóide negativa com amplitude A\omega^{2}.

Passo 3

Aplicando os valores dados:
  • Amplitude:
A=5,00\cdot10^{-2}\\ \text{(m)}.
  • Frequência angular:
\omega=2,00\\ \text{(s}^{-1}\text{)}.
  • Período:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2,00}=\pi\\ \text{(s)}\approx3,1416\\ \text{s}.
  • Frequência:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\pi}\approx0,31831\\ \text{Hz}.
  • Amplitude da velocidade máxima:
v_{\max}=A\omega=(5,00\cdot10^{-2})\cdot2,00=0,100\\ \text{m/s}.
  • Amplitude da aceleração máxima:
a_{\max}=A\omega^{2}=(5,00\cdot10^{-2})\cdot(2,00)^{2}=0,200\\ \text{m/s}^{2}.

Passo 4

Derivações (mostrando passo a passo):
  • Partindo de \;x(t)=A\sin(\omega t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\cdot\frac{d}{dt}\sin(\omega t)=A\cdot\omega\cos(\omega t).
Substituindo A e \omega:
v(t)=0,100\cos(2,00\,t)\\ \text{(m/s)}.
  • Segunda derivada:
a(t)=\frac{dv}{dt}=A\omega\cdot\frac{d}{dt}\cos(\omega t)=A\omega\cdot(-\omega)\sin(\omega t)=-A\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo:
a(t)=-0,200\sin(2,00\,t)\\ \text{(m/s}^{2}\text{)}.

Passo 5

Identificação dos instantes importantes (útil para marcar o gráfico):
  • Zeros de x(t): quando \sin(2t)=0\Rightarrow 2t=k\pi\Rightarrow t=k\frac{\pi}{2} com k\in\mathbb{Z}. Ou seja, zeros em t=0,\;\tfrac{\pi}{2},\;\pi,\;\tfrac{3\pi}{2},\ldots.
  • Máximo de x(t): quando \sin(2t)=1\Rightarrow 2t=\tfrac{\pi}{2}+2\pi k\Rightarrow t=\tfrac{\pi}{4}+\pi k. Primeiro máximo em t=\tfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \text{s} com x_{\max}=A=0,0500\\ \text{m}.
  • Mínimo de x(t): quando \sin(2t)=-1\Rightarrow t=\tfrac{3\pi}{4}+\pi k. Primeiro mínimo em t=\tfrac{3\pi}{4}\approx2,3562\\ \text{s} com x_{\min}=-0,0500\\ \text{m}.
  • Máximo de v(t): ocorre quando \cos(2t)=\pm1; em t=0 temos v(0)=v_{\max}=0,100\\ \text{m/s}.
  • Observe a relação a(t)=-\omega^{2}x(t): o gráfico de aceleração é a mesma forma do deslocamento multiplicada por -\omega^{2}.

Passo 6

Pontos práticos (valor numérico em pontos uniformes dentro de um período [0,T]) — use estes pontos para traçar as curvas com régua ou software. Tomei os tempos t=0,\tfrac{\pi}{8},\tfrac{\pi}{4},\tfrac{3\pi}{8},\tfrac{\pi}{2},\tfrac{5\pi}{8},\tfrac{3\pi}{4},\tfrac{7\pi}{8},\pi. Lembrando que \sin(2t) e \cos(2t) nestes pontos têm valores simples:
Tabela (aprox. com 5 dígitos, usar vírgula decimal):
  • t=0
    • x(0)=0,00000\\ \text{m}
    • v(0)=0,10000\\ \text{m/s}
    • a(0)=0,00000\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{\pi}{8}\approx0,39270\\ \text{s} (aqui 2t=\tfrac{\pi}{4})
    • \sin(2t)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\approx0,70711
    • x\approx0,03536\\ \text{m}
    • \cos(2t)=0,70711\Rightarrow v\approx0,07071\\ \text{m/s}
    • a=-0,200\cdot0,70711\approx-0,14142\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{\pi}{4}\approx0,78540\\ \text{s} (aqui 2t=\tfrac{\pi}{2})
    • x=0,05000\\ \text{m}
    • v=0,00000\\ \text{m/s}
    • a=-0,200\cdot1,00=-0,20000\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{3\pi}{8}\approx1,17810\\ \text{s} (aqui 2t=\tfrac{3\pi}{4})
    • \sin(2t)=0,70711\Rightarrow x\approx0,03536\\ \text{m}
    • \cos(2t)=-0,70711\Rightarrow v\approx-0,07071\\ \text{m/s}
    • a\approx-0,14142\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{\pi}{2}\approx1,57080\\ \text{s} (aqui 2t=\pi)
    • x=0,00000\\ \text{m}
    • v=-0,10000\\ \text{m/s}
    • a=0,00000\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{5\pi}{8}\approx1,96350\\ \text{s}
    • x\approx-0,03536\\ \text{m}
    • v\approx-0,07071\\ \text{m/s}
    • a\approx0,14142\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{3\pi}{4}\approx2,35619\\ \text{s}
    • x=-0,05000\\ \text{m}
    • v\approx0,00000\\ \text{m/s}
    • a\approx0,20000\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\tfrac{7\pi}{8}\approx2,74889\\ \text{s}
    • x\approx-0,03536\\ \text{m}
    • v\approx0,07071\\ \text{m/s}
    • a\approx0,14142\\ \text{m/s}^{2}
  • t=\pi\approx3,14159\\ \text{s} (fim do período)
    • x=0,00000\\ \text{m}
    • v=0,10000\\ \text{m/s}
    • a=0,00000\\ \text{m/s}^{2}
Use essa tabela como pontos de amostra para ligar com uma curva suave — vai dar a senóide, o cosseno e a senóide invertida.

Passo 7

Como traçar os gráficos (instruções práticas):
  • Escolha um eixo t horizontal de 0 até T (ou até 2T se quiser ver duas oscilações). Aqui T=\pi\approx3,14\\ \text{s}.
  • Para x(t): eixo vertical de aproximadamente [-0,06,\;0,06] m (porque amplitude é 0,05 m — deixe margem).
    • Marque t em intervalos como 0,\;\tfrac{\pi}{8},\;\tfrac{\pi}{4},\;\ldots e marque valores de x da tabela.
    • Ligue os pontos suavemente: começará em 0, sobe até 0,05 em t=\tfrac{\pi}{4}, volta a 0 em t=\tfrac{\pi}{2}, vai a -0,05 em t=\tfrac{3\pi}{4}, e retorna a 0 em t=\pi.
  • Para v(t): eixo vertical de aproximadamente [-0,12,\;0,12] m/s (max 0,10 m/s).
    • Em t=0 tem v=0,10, vai a zero em t=\tfrac{\pi}{4}, a -0,10 em t=\tfrac{\pi}{2}, etc. O gráfico é um cosseno.
  • Para a(t): eixo vertical de aproximadamente [-0,25,\;0,25] m/s^2 (max 0,20 m/s^2).
    • Observe que a(t) tem mesma forma que -posição ampliada pelo fator \omega^{2}=4: verifique a(t)=-4x(t) numericamente (por exemplo, em t=\tfrac{\pi}{4}, x=0,05\Rightarrow a=-0,20 ).
Dica prática: se usar papel milimetrado, uma boa escala para x é 1 quadradinho = 0,005 m (5 mm) — assim amplitude 0,05 m ocupa 10 quadradinhos; para t 1 quadradinho = 0,1 s funciona bem para ver um período.

Passo 8

Interpretação rápida (ajuda na prova):
  • Comece sempre identificando A e \omega. Com \omega calcule T e marque no eixo do tempo os pontos 0,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T para posicionar máximos, zeros e mínimos.
  • Derive uma vez para obter velocidade (cosseno) e outra para obter aceleração (seno invertido). Use as relações de amplitude v_{\max}=A\omega e a_{\max}=A\omega^{2} para escalar os eixos.
  • Verifique a relação a(t)=-\omega^{2}x(t) como checagem rápida dos seus valores numéricos.

Resposta

x(t)=(5,00\cdot10^{-2})\sin(2,00\,t)\\ \text{m}
v(t)=0,100\cos(2,00\,t)\\ \text{m/s}
a(t)=-0,200\sin(2,00\,t)\\ \text{m/s}^{2}
A=5,00\cdot10^{-2}\\ \text{m},\\ \omega=2,00\\ \text{s}^{-1},\\ T=\pi\\ \text{s}\approx3,1416\\ \text{s},\\ f=1/\pi\approx0,31831\\ \text{Hz}
v_{\max}=0,100\\ \text{m/s},\\ a_{\max}=0,200\\ \text{m/s}^{2}

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