Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS :
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\left(\mathbf{5 , 0 0 . 1 0} \mathbf{- 2}^{\mathbf{2}}\right) \cos \left(\mathbf{2 , 0 0} \boldsymbol{t}+\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathbf{4}}\right)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que se pede (sem resolver ainda).
  • Função fornecida (peguei do enunciado): x(t)=\left(5{,}00\times10^{-2}\right)\cos\!\left(2{,}00\,t+\frac{\pi}{4}\right).
  • O que se pede: construir o(s) gráfico(s) em função do tempo para este OHS (oscilador harmônico simples). Ou seja, quero traçar a curva x(t) ao longo do tempo e identificar informações importantes que ajudam a desenhar o gráfico corretamente.
Informações explícitas dadas:
  • amplitude: \;5{,}00\times10^{-2} (unidade implícita: metro),
  • pulsação (frequência angular): \;\omega=2{,}00\\ \text{rad/s},
  • fase inicial: \;\varphi=\dfrac{\pi}{4}\\ \text{rad}.

Passo 2

Interpretação numérica e unidades — transformar os dados em formas mais práticas para desenhar:
  • Amplitude:
    A=5{,}00\times10^{-2}=0{,}05\\ \mathrm{m}.
    Explicação rápida: 5{,}00\times10^{-2} é a notação científica para 0{,}05.
  • Pulsação:
    \omega=2{,}00\\ \text{rad/s}.
  • Fase:
    \varphi=\frac{\pi}{4}\\ \text{rad}.
Esses três números ( A,\omega,\varphi) determinam totalmente a forma da oscilação.

Passo 3

Calcular período, frequência e deslocamento de fase em unidades de tempo — são dados que ajudam a marcar o eixo tempo no gráfico.
  • Período T:
    T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2{,}00}=\pi\\ \text{s}\approx3{,}1416\\ \text{s}.
    Explicação: o período é o tempo que o movimento demora para repetir; para OHS com pulsação \omega vale T=2\pi/\omega.
  • Frequência (ciclos por segundo) f:
    f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2{,}00}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \text{Hz}\approx0{,}3183\\ \text{Hz}.
  • Deslocamento de fase em tempo (shift temporal):
    \Delta t=\frac{\varphi}{\omega}=\frac{\tfrac{\pi}{4}}{2{,}00}=\frac{\pi}{8}\\ \text{s}\approx0{,}3927\\ \text{s}.
    Explicação: \cos(\omega t+\varphi)=\cos\!\big(\omega(t+\varphi/\omega)\big), então a fase \varphi desloca o cosseno no eixo do tempo por \varphi/\omega segundos (para a esquerda se \varphi>0).

Passo 4

Valor inicial e interpretação física imediata — pontos de partida para o desenho:
  • Deslocamento em t=0:
    x(0)=A\cos\varphi=0{,}05\cos\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=0{,}05\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}= \frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx0{,}03536\\ \mathrm{m}.
    Interpretação: no instante inicial t=0 a massa já está deslocada positivamente, porém não na amplitude máxima ( A); está em A\cos\varphi.
  • Velocidade e aceleração gerais (úteis se quiser desenhar velocidade/ aceleração):
    v(t)=\dot x(t)=-A\omega\sin(\omega t+\varphi),
a(t)=\ddot x(t)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t).
Amplitudes:
A_v=A\omega=0{,}05\cdot2{,}00=0{,}10\\ \mathrm{m/s}, \qquad A_a=A\omega^{2}=0{,}05\cdot(2{,}00)^{2}=0{,}20\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Explicação: para OHS a velocidade tem amplitude A\omega e a aceleração amplitude A\omega^{2}.

Passo 5

Calcular instantes-chave (zeros, máximos, mínimos) — esses pontos servem de “marcadores” para desenhar a forma correta.
Fórmulas gerais:
  • máximos quando \cos(\omega t+\varphi)=+1\Rightarrow \omega t+\varphi=2\pi n, t_{\text{max},n}=\frac{2\pi n-\varphi}{\omega}.
  • mínimos quando \cos(\omega t+\varphi)=-1\Rightarrow \omega t+\varphi=\pi+2\pi n, t_{\text{min},n}=\frac{\pi+2\pi n-\varphi}{\omega}.
  • zeros quando \cos(\omega t+\varphi)=0\Rightarrow \omega t+\varphi=\frac{\pi}{2}+\pi n, t_{\text{zero},n}=\frac{\tfrac{\pi}{2}+\pi n-\varphi}{\omega}.
Substituindo \omega=2{,}00 e \varphi=\pi/4, calculo os primeiros instantes (valores numéricos práticos):
  • Primeiro zero positivo ( n=0): t_{\text{zero},0}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}}{2{,}00}=\frac{\tfrac{\pi}{4}}{2}=\frac{\pi}{8}\approx0{,}3927\\ \text{s}.
  • Primeiro mínimo ( n=0): t_{\text{min},0}=\frac{\pi-\tfrac{\pi}{4}}{2{,}00}=\frac{3\pi/4}{2}=\frac{3\pi}{8}\approx1{,}1781\\ \text{s}, \quad x(t_{\text{min},0})=-A=-0{,}05\\ \mathrm{m}.
  • Segundo zero ( n=1 na fórmula dos zeros): t_{\text{zero},1}=\frac{\tfrac{\pi}{2}+\pi-\tfrac{\pi}{4}}{2{,}00}=\frac{5\pi/4}{2}=\frac{5\pi}{8}\approx1{,}9635\\ \text{s}.
  • Primeiro máximo positivo depois de t=0 ( n=1 nos máximos, pois n=0 dá negativo): t_{\text{max},1}=\frac{2\pi-\tfrac{\pi}{4}}{2{,}00}=\frac{7\pi}{8}\approx2{,}7489\\ \text{s}, \quad x(t_{\text{max},1})=+A=+0{,}05\\ \mathrm{m}.
Esses instantes permitem posicionar zeros, picos e vales no eixo do tempo ao desenhar.

Passo 6

Montar uma tabela de pontos (valores exatos e aproximações) ao longo de um período 0\le t\le T=\pi — ótima prática para traçar o gráfico manualmente.
Escolho pontos com espaçamento \pi/8 (que coincide com \Delta t e zeros/max/min):
Tabela (cada linha: t, argumento \omega t+\varphi, x(t)=A\cos(\ldots)):
  • t=0: \omega t+\varphi=\tfrac{\pi}{4}, x(0)=\frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx0{,}03536\\ \mathrm{m}.
  • t=\dfrac{\pi}{8}\approx0{,}3927\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\tfrac{\pi}{2}, x=\;0\\ \mathrm{m}\\ (\text{zero}).
  • t=\dfrac{\pi}{4}\approx0{,}7854\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\tfrac{3\pi}{4}, x=-\frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx-0{,}03536\\ \mathrm{m}.
  • t=\dfrac{3\pi}{8}\approx1{,}1781\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\pi, x=-0{,}05\\ \mathrm{m}\\ (\text{mínimo}).í
  • t=\dfrac{\pi}{2}\approx1{,}5708\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\tfrac{5\pi}{4}, x=-\frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx-0{,}03536\\ \mathrm{m}.
  • t=\dfrac{5\pi}{8}\approx1{,}9635\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\tfrac{3\pi}{2}, x=0\\ \mathrm{m}\\ (\text{zero}).
  • t=\dfrac{3\pi}{4}\approx2{,}3562\\ \text{s}: \omega t+\varphi=\tfrac{7\pi}{4}, x=\frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx0{,}03536\\ \mathrm{m}.
  • t=\dfrac{7\pi}{8}\approx2{,}7489\\ \text{s}: \omega t+\varphi=2\pi, x=+0{,}05\\ \mathrm{m}\\ (\text{máximo}).á
  • t=\pi\approx3{,}1416\\ \text{s}: \omega t+\varphi=2\pi+\tfrac{\pi}{4}, x=\frac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx0{,}03536\\ \mathrm{m}(o padrão repete depois de T=\pi).
Explicação: esses pontos dão uma “malha” que permite traçar a curva quase sem erro: marque-os no papel (eixo vertical com amplitude \pm0{,}05, eixo horizontal com marcas a cada \pi/8 ), depois ligue suavemente seguindo a forma do cosseno.

Passo 7

Como desenhar o gráfico passo a passo (instruções práticas, como fazer na prova ou à mão):
  1. Desenhe dois eixos: tempo horizontal (s) e deslocamento vertical (m). Ao vertical marque pelo menos de -0{,}06 a +0{,}06 com 0{,}05 destacado como amplitude. No eixo tempo marque ticks em 0,\\ \pi/8,\\ \pi/4,\\\ 3\pi/8,\\ \ldots,\\ \pi (use os números aproximados em segundos se preferir).
  2. Plote os pontos da tabela do Passo 6 (cada ponto com coordenada precisa).
  3. Ligue os pontos com uma curva suave senoidal (cosseno) — sem cantos agudos. Lembre-se que a curva é contínua e diferenciável.
  4. Indique amplitude A=0{,}05\\ \mathrm{m}, zeros e os instantes dos primeiros mínimo e máximo (escreva os valores numéricos junto aos pontos).
  5. Se quiser duas ou mais oscilações, estenda para t=0 até 2T usando a mesma periodicidade.
Dica visual: como \varphi>0 a curva está “adiantada” em relação a um cosseno puro sem fase; por isso o primeiro zero aparece já em t=\pi/8 (não em t=\pi/4 ou outro).

Passo 8

Se precisar dos gráficos de velocidade v(t) e aceleração a(t) para plotar junto:
  • v(t)=-0{,}10\sin(2{,}00\,t+\tfrac{\pi}{4})\\ \mathrm{m/s}. (amplitude 0{,}10\\ \mathrm{m/s})
  • a(t)=-0{,}20\cos(2{,}00\,t+\tfrac{\pi}{4})\\ \mathrm{m/s^{2}}. (amplitude 0{,}20\\ \mathrm{m/s^{2}})
Para desenhá-las: use os mesmos instantes-chave; por exemplo em t=0 tem v(0)=-0{,}10\sin(\pi/4)=-0{,}1/\sqrt{2}\approx-0{,}07071\\ \mathrm{m/s} e a(0)=-0{,}20\cos(\pi/4)=-0{,}2/\sqrt{2}\approx-0{,}14142\\ \mathrm{m/s^{2}}. Os gráficos são senóide e cosinóide, defasados entre si.

Resposta

Amplitude: A=5{,}00\times10^{-2}=0{,}05\\ \mathrm{m}
Pulsação: \omega=2{,}00\\ \mathrm{rad/s}
Período: T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi\\ \mathrm{s}\approx3{,}1416\\ \mathrm{s}
Frequência: f=\dfrac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0{,}3183\\ \mathrm{Hz}
Fase: \varphi=\dfrac{\pi}{4}\\ \mathrm{rad} (desloca o cosseno em \Delta t=\dfrac{\varphi}{\omega}=\dfrac{\pi}{8}\\ \mathrm{s}\approx0{,}3927\\ \mathrm{s})
Valor inicial: x(0)=\dfrac{0{,}05}{\sqrt{2}}\approx0{,}03536\\ \mathrm{m}
Zeros e extremos (primeiros positivos): zero em t=\dfrac{\pi}{8}\approx0{,}3927\\ \mathrm{s}; mínimo em t=\dfrac{3\pi}{8}\approx1{,}1781\\ \mathrm{s} com x=-0{,}05\\ \mathrm{m}; máximo em t=\dfrac{7\pi}{8}\approx2{,}7489\\ \mathrm{s} com x=+0{,}05\\ \mathrm{m}.

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