Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS :
Passo 1
O enunciado pede para construir gráficos em função do tempo para o movimento harmônico simples dado por
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
- Amplitude:
(unidades implícitas — normalmente metros). - Pulsação (frequência angular):
(rad/s). - Fase inicial:
.
O que se espera construir: gráficos deem função de . Para entendimento completo e para desenhar bem o gráfico, também vamos obter as expressões e gráficos relacionados de velocidade e aceleração , pontos chave (máximos, zeros, mínimos) e tempos correspondentes.
Passo 2
Entender a forma geral e significado dos parâmetros (mini-aula intuitiva):
- A forma geral de um OHS é
. -
é o deslocamento máximo (amplitude). -
é a pulsação: relaciona-se com o período e a frequência por -
é a fase inicial: desloca a curva no tempo (avança/atrasada).
-
- Interpretação prática: se
a função não começa necessariamente num máximo em ; a fase diz “onde” da oscilação estamos no instante inicial.
Aplicando aos números do problema:
Calcule o período:
Frequência:
Passo 3
Derivar velocidade e aceleração (passo-a-passo do cálculo e interpretação):
- Velocidade é a derivada de
: Explicando: derivada de é e pela regra da cadeia multiplica-se por . - Aceleração é a derivada de
: Observação útil: como , tem-se sempre isto mostra que a aceleração aponta para o ponto de equilíbrio e é proporcional (com sinal contrário) ao deslocamento.
Aplicando números:
Outra expressão prática:
(pois
).
Passo 4
Condições iniciais (avaliar em
) e interpretação:
- Deslocamento inicial:
Interpretação: em o corpo está deslocado positivamente, mas não no máximo; está em . - Velocidade inicial:
Interpretação: velocidade positiva e relativamente grande — o objeto está passando pelo deslocamento inicial indo para a direita. - Aceleração inicial:
Interpretação: aceleração negativa (aponta para a esquerda), porque a massa está à direita do equilíbrio e a força restauradora puxa para a esquerda.
Passo 5
Pontos-chave para desenhar o gráfico de
(tempo dos máximos, zeros, mínimos) — método e cálculos:
Defina . Valores importantes de
:
(max, zero, min, zero, max). Resolver
dá
Defina
Calcule os primeiros tempos (um período,
, e o próximo máximo para verificar o período):
- Para
(primeiro máximo): . Valor: . - Para
(zero decrescente): . Valor: . - Para
(mínimo): . Valor: . - Para
(zero crescente): . Valor: . - Para
(próximo máximo): — nota que , confirmando .
Monte uma tabela útil para desenhar (valores aproximados, prontos para marcar no gráfico):
-
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , . -
: , , .
Esses pontos já permitem traçar uma boa curva senoidal.
Passo 6
Como desenhar na prática (passo-a-passo para traçar os gráficos à mão — dica de prova):
- Escolha o intervalo de tempo: sugiro desenhar de
até (a visualização de duas oscilações ajuda a entender). Aqui . Para exercícios de prova, desenhar de a também é suficiente. - Eixos: em horizontal coloque
(s), em vertical (m). Marque as linhas horizontais e (amplitude) e . - Marque no eixo do tempo os instantes calculados
. Use as posições numéricas em segundos mostradas acima. Dica: coloque também subdivisões a cada . - Plote os pontos da tabela: por exemplo, em
o ponto máximo em , em cruza o zero, etc. Em marque . - Una os pontos com uma curva suave (senoidal). Lembre-se que a curva é contínua e derivável; não desenhe cantos.
- Para o gráfico de
: marque amplitude máxima (ou seja, ). Use os mesmos tempos: em a velocidade é zero, em atinge , etc. Note a defasagem: está defasada de em relação a (velocidade “antecede” o deslocamento em um quarto de período). - Para
: amplitude . A aceleração está em oposição ao deslocamento ( ), portanto quando é máximo positivo, é mínimo negativo, etc.
Passo 7
Interpretações finais úteis para a prova (resumo didático, mentalidade para não se perder):
- Padrão para desenhar rápido em prova: achar
, calcular e , localizar o primeiro máximo resolvendo (ou , etc.), marcar zeros e mínimos usando incrementos de no argumento. - Lembrete de signos: se
, então e . Guarde: aceleração sempre aponta para o centro (sinal contrário ao deslocamento).
Resposta
Pontos-chave:\n