Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS :
x(t)=\left(5,00.10^{-2}\right) \cos \left(2,00 t-\frac{\pi}{4}\right)

Passo 1

O enunciado pede para construir gráficos em função do tempo para o movimento harmônico simples dado por
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cos\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{4}\right).
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • Amplitude: A=5,00\cdot10^{-2} (unidades implícitas — normalmente metros).
  • Pulsação (frequência angular): \omega=2,00 (rad/s).
  • Fase inicial: \varphi=-\dfrac{\pi}{4}.
    O que se espera construir: gráficos de x(t) em função de t. Para entendimento completo e para desenhar bem o gráfico, também vamos obter as expressões e gráficos relacionados de velocidade v(t) e aceleração a(t), pontos chave (máximos, zeros, mínimos) e tempos correspondentes.

Passo 2

Entender a forma geral e significado dos parâmetros (mini-aula intuitiva):
  • A forma geral de um OHS é \,x(t)=A\cos(\omega t+\varphi)\,.
    • A é o deslocamento máximo (amplitude).
    • \omega é a pulsação: relaciona-se com o período T e a frequência f por T=\frac{2\pi}{\omega},\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}.
    • \varphi é a fase inicial: desloca a curva no tempo (avança/atrasada).
  • Interpretação prática: se \varphi\neq0 a função não começa necessariamente num máximo em t=0; a fase diz “onde” da oscilação estamos no instante inicial.
Aplicando aos números do problema:
A=5,00\cdot10^{-2}=0,05,\qquad \omega=2,00.
Calcule o período:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2,00}=\pi\\ \text{s}\approx3,1416\\ \text{s}.
Frequência:
f=\frac{\omega}{2\pi}=\frac{2,00}{2\pi}=\frac{1}{\pi}\\ \text{Hz}\approx0,31831\\ \text{Hz}.

Passo 3

Derivar velocidade e aceleração (passo-a-passo do cálculo e interpretação):
  • Velocidade é a derivada de x(t): v(t)=\frac{dx}{dt}=\frac{d}{dt}\bigl[A\cos(\omega t+\varphi)\bigr]= -A\omega\sin(\omega t+\varphi).Explicando: derivada de \cos é -\sin e pela regra da cadeia multiplica-se por \omega.
  • Aceleração é a derivada de v(t): a(t)=\frac{dv}{dt}=-A\omega\cdot\omega\cos(\omega t+\varphi)=-A\omega^{2}\cos(\omega t+\varphi).Observação útil: como x(t)=A\cos(\omega t+\varphi), tem-se sempre a(t)=-\omega^{2}x(t),isto mostra que a aceleração aponta para o ponto de equilíbrio e é proporcional (com sinal contrário) ao deslocamento.
Aplicando números:
v(t)=-0,05\cdot 2,00\;\sin\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{4}\right)=-0,10\sin\!\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).
a(t)=-0,05\cdot(2,00)^{2}\cos\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{4}\right)=-0,20\cos\!\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).
Outra expressão prática: a(t)=-\omega^{2}x(t)=-4\,x(t) (pois \omega^{2}=4).

Passo 4

Condições iniciais (avaliar em t=0) e interpretação:
  • Deslocamento inicial: x(0)=A\cos(\varphi)=0,05\cos\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=0,05\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\approx0,03536.Interpretação: em t=0 o corpo está deslocado positivamente, mas não no máximo; está em 0,03536.
  • Velocidade inicial: v(0)=-A\omega\sin(\varphi)=-0,05\cdot2\cdot\sin\!\left(-\frac{\pi}{4}\right)=-0,10\cdot\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\approx0,07071.Interpretação: velocidade positiva e relativamente grande — o objeto está passando pelo deslocamento inicial indo para a direita.
  • Aceleração inicial: a(0)=-\omega^{2}x(0)=-4\cdot0,03536\approx-0,14142.Interpretação: aceleração negativa (aponta para a esquerda), porque a massa está à direita do equilíbrio e a força restauradora puxa para a esquerda.

Passo 5

Pontos-chave para desenhar o gráfico de x(t) (tempo dos máximos, zeros, mínimos) — método e cálculos:
Defina \theta(t)=\omega t+\varphi=2t-\dfrac{\pi}{4}. Valores importantes de \theta: 0,\\ \dfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \dfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi (max, zero, min, zero, max). Resolver 2t-\dfrac{\pi}{4}=\theta
t=\frac{\theta+\pi/4}{2}.
Calcule os primeiros tempos (um período, 0\le t\le T, e o próximo máximo para verificar o período):
  • Para \theta=0 (primeiro máximo): t_{1}=\dfrac{0+\pi/4}{2}=\dfrac{\pi}{8}\approx0,3927\\ \text{s}. Valor: x(t_1)=A=0,05.
  • Para \theta=\dfrac{\pi}{2} (zero decrescente): t_{2}=\dfrac{\pi/2+\pi/4}{2}=\dfrac{3\pi}{8}\approx1,1781\\ \text{s}. Valor: x(t_2)=0.
  • Para \theta=\pi (mínimo): t_{3}=\dfrac{\pi+\pi/4}{2}=\dfrac{5\pi}{8}\approx1,9635\\ \text{s}. Valor: x(t_3)=-0,05.
  • Para \theta=\dfrac{3\pi}{2} (zero crescente): t_{4}=\dfrac{7\pi}{8}\approx2,7489\\ \text{s}. Valor: x(t_4)=0.
  • Para \theta=2\pi (próximo máximo): t_{5}=\dfrac{9\pi}{8}\approx3,5343\\ \text{s} — nota que t_{5}=t_{1}+T, confirmando T=\pi\approx3,1416.
Monte uma tabela útil para desenhar (valores aproximados, prontos para marcar no gráfico):
  • t=0: x(0)\approx0,03536, v(0)\approx0,07071, a(0)\approx-0,14142.
  • t_{1}=\dfrac{\pi}{8}\approx0,3927: x=0,05, v=0, a=-0,20.
  • t_{2}=\dfrac{3\pi}{8}\approx1,1781: x=0, v=-0,10, a=0.
  • t_{3}=\dfrac{5\pi}{8}\approx1,9635: x=-0,05, v=0, a=+0,20.
  • t_{4}=\dfrac{7\pi}{8}\approx2,7489: x=0, v=+0,10, a=0.
  • t_{5}=\dfrac{9\pi}{8}\approx3,5343: x=0,05, v=0, a=-0,20.
Esses pontos já permitem traçar uma boa curva senoidal.

Passo 6

Como desenhar na prática (passo-a-passo para traçar os gráficos à mão — dica de prova):
  1. Escolha o intervalo de tempo: sugiro desenhar de t=0 até t=2T (a visualização de duas oscilações ajuda a entender). Aqui 2T\approx6,2832\\ \text{s}. Para exercícios de prova, desenhar de 0 a T também é suficiente.
  2. Eixos: em horizontal coloque t (s), em vertical x (m). Marque as linhas horizontais x=+0,05 e x=-0,05 (amplitude) e x=0.
  3. Marque no eixo do tempo os instantes calculados 0,\\ t_{1},\\ t_{2},\\ t_{3},\\ t_{4},\\ t_{5},\ldots. Use as posições numéricas em segundos mostradas acima. Dica: coloque também subdivisões a cada T/8=\pi/8\approx0,3927\\ \text{s}.
  4. Plote os pontos da tabela: por exemplo, em t_{1} o ponto máximo em +0,05, em t_{2} cruza o zero, etc. Em t=0 marque x(0)\approx0,03536.
  5. Una os pontos com uma curva suave (senoidal). Lembre-se que a curva é contínua e derivável; não desenhe cantos.
  6. Para o gráfico de v(t): marque amplitude máxima A\omega=0,05\cdot2,00=0,10 (ou seja, v_{\max}=0,10). Use os mesmos tempos: em t_{1} a velocidade é zero, em t_{2} atinge -0,10, etc. Note a defasagem: v(t) está defasada de \dfrac{\pi}{2} em relação a x(t) (velocidade “antecede” o deslocamento em um quarto de período).
  7. Para a(t): amplitude A\omega^{2}=0,05\cdot4=0,20. A aceleração está em oposição ao deslocamento ( a(t)=-4x(t)), portanto quando x é máximo positivo, a é mínimo negativo, etc.

Passo 7

Interpretações finais úteis para a prova (resumo didático, mentalidade para não se perder):
  • Padrão para desenhar rápido em prova: achar A,\\ \omega,\\ \varphi,\\ T, calcular x(0) e v(0), localizar o primeiro máximo resolvendo \omega t+\varphi=0 (ou \pi, etc.), marcar zeros e mínimos usando incrementos de \pi/2 no argumento.
  • Lembrete de signos: se x(t)=A\cos(\cdot), então v(t)=-A\omega\sin(\cdot) e a(t)=-\omega^{2}x(t). Guarde: aceleração sempre aponta para o centro (sinal contrário ao deslocamento).

Resposta

A=5,00\cdot10^{-2}=0,05 \,(\text{m})\n
\omega=2,00\\ \text{rad/s}\n
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi\\ \text{s}\approx3,1416\\ \text{s}\n
x(t)=0,05\cos\!\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)\n
v(t)=-0,10\sin\!\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)\n
a(t)=-0,20\cos\!\left(2t-\dfrac{\pi}{4}\right)\n
Pontos-chave:\n
t=0:\\ x(0)\approx0,03536,\\ v(0)\approx0,07071,\\ a(0)\approx-0,14142\n
t_{1}=\dfrac{\pi}{8}\approx0,3927\\ \text{s}:\\ x=+0,05,\\ v=0,\\ a=-0,20\n
t_{2}=\dfrac{3\pi}{8}\approx1,1781\\ \text{s}:\\ x=0,\\ v=-0,10,\\ a=0\n
t_{3}=\dfrac{5\pi}{8}\approx1,9635\\ \text{s}:\\ x=-0,05,\\ v=0,\\ a=+0,20\n
t_{4}=\dfrac{7\pi}{8}\approx2,7489\\ \text{s}:\\ x=0,\\ v=+0,10,\\ a=0\n
t_{5}=\dfrac{9\pi}{8}\approx3,5343\\ \text{s}:\\ x=+0,05,\\ v=0,\\ a=-0,20

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