Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS:
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\left(\mathbf{5 , 0 0 . 1 0} \mathbf{- 2}^{\mathbf{2}}\right) \operatorname{sen}\left(\mathbf{2 , 0 0} \boldsymbol{t}+\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathbf{3}}\right)

Passo 1

O enunciado pede construir gráficos em função do tempo para o caso de oscilador harmônico simples (OHS) dado por
x(t)=\bigl(5,00\cdot 10^{-2}\bigr)\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right).
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
  • Amplitude: A=5,00\cdot 10^{-2}.
  • Frequência angular: \omega=2,00 (unidade: \mathrm{rad/s}).
  • Fase inicial: \varphi=\dfrac{\pi}{3}.
    O que o enunciado pede explicitamente: “construir gráficos em função do tempo” — isto normalmente significa traçar x(t) ao longo do tempo e, para entender bem o movimento, também traçar a velocidade v(t) e a aceleração a(t). Vou então obter as fórmulas de v(t) e a(t), calcular parâmetros importantes (período, frequência, amplitudes de velocidade e aceleração, valores iniciais) e indicar pontos-chave no tempo para desenhar os gráficos (valores numéricos e um pequeno guia de esboço).

Passo 2

Entendendo as grandezas do OHS e como obter v(t) e a(t).
Breve aula prática:
  • Para um OHS clássico com deslocamento \;x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)\;, a velocidade é a derivada temporal de x(t): \;v(t)=\dfrac{dx}{dt}\;.
  • A derivada de \operatorname{sen}(\theta) em relação a t é \cos(\theta)\cdot\dfrac{d\theta}{dt}. Aqui \theta=\omega t+\varphi e \dfrac{d\theta}{dt}=\omega.
  • Logo em OHS:
v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi).
  • A aceleração é a derivada de v(t) ou a segunda derivada de x(t). A derivada de \cos é -\operatorname{sen}, então:
a(t)=-A\omega^{2}\operatorname{sen}(\omega t+\varphi).
  • Observação física simples: \;a(t)=-\omega^{2}x(t)\; (propriedade do OHS linear).
Vou aplicar essas fórmulas aos números do enunciado.

Passo 3

Substituindo os valores numéricos e simplificando as expressões.
Amplitude:
A=5,00\cdot 10^{-2}=0,05\\ \mathrm{(unidades\\ de\\ comprimento)}.
Frequência angular:
\omega=2,00\\ \mathrm{rad/s}.
Fase:
\varphi=\frac{\pi}{3}.
Portanto as expressões ficam:
x(t)=0,05\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right),
v(t)=0,05\cdot 2,00\cos\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right)=0,10\cos\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right),
a(t)=-0,05\cdot(2,00)^{2}\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\frac{\pi}{3}\right).

Passo 4

Calcular período, frequência e amplitudes máximas — porque isso ajuda a dimensionar os eixos do gráfico.
  • Período T (tempo para uma oscilação completa):
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2,00}=\pi\approx 3,1416\\ \mathrm{s}.
  • Frequência (ciclos por segundo):
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\pi}\approx 0,3183\\ \mathrm{Hz}.
  • Amplitude máxima da velocidade (velocidade de pico):
V_{\max}=A\omega=0,05\cdot 2,00=0,10\\ \mathrm{m/s}.
  • Amplitude máxima da aceleração (pico de módulo da aceleração):
a_{\max}=A\omega^{2}=0,05\cdot(2,00)^{2}=0,20\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Esses valores dizem quanto o gráfico precisa “subir” no eixo vertical: x varia entre \pm 0,05, v entre \pm 0,10, a entre \pm 0,20.

Passo 5

Calcular valores iniciais e pontos-chave no tempo para traçar o esboço (pontos onde x é máximo, zero e mínimo, com seus tempos).
Fórmulas para os tempos importantes:
  • Máximo de x ocorre quando \omega t+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi.
  • Zero de x ocorre quando \omega t+\varphi=k\pi.
  • Mínimo de x ocorre quando \omega t+\varphi=\dfrac{3\pi}{2}+2k\pi.
Vou calcular os primeiros pontos positivos (pequeno k).
Valor inicial t=0:
x(0)=0,05\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=0,05\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,043301\\ \mathrm{m}\approx 0,0433\\ \mathrm{m}.
v(0)=0,10\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=0,10\cdot\frac{1}{2}=0,050\\ \mathrm{m/s}.
a(0)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=-0,20\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0,173205\\ \mathrm{m/s^{2}}\approx -0,1732\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Tempo do primeiro máximo ( k=0):
t_{\text{max1}}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-\varphi}{\omega}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3}}{2,00} =\frac{\tfrac{\pi}{6}}{2,00}=\frac{\pi}{12}\approx 0,2618\\ \mathrm{s}.
Neste instante x=+0,05, v=0, a=-0,20.
Primeiro zero positivo ( k=1):
t_{\text{zero1}}=\frac{\pi-\varphi}{\omega}=\frac{\pi-\tfrac{\pi}{3}}{2,00}=\frac{2\pi/3}{2,00}=\frac{\pi}{3}\approx 1,0472\\ \mathrm{s}.
Neste instante x=0, v atinge valor v(t_{\text{zero1}})=0,10\cos(\pi)=0,10\cdot(-1)=-0,10\\ \mathrm{m/s}.
Primeiro mínimo ( k=0 para mín):
t_{\text{min1}}=\frac{\tfrac{3\pi}{2}-\varphi}{\omega}=\frac{\tfrac{3\pi}{2}-\tfrac{\pi}{3}}{2,00}=\frac{7\pi/6}{2,00}=\frac{7\pi}{12}\approx 1,8326\\ \mathrm{s}.
Neste instante x=-0,05, v=0, a=+0,20.
Um zero seguinte:
t_{\text{zero2}}=\frac{2\pi-\varphi}{\omega}=\frac{2\pi-\tfrac{\pi}{3}}{2,00}=\frac{5\pi/3}{2,00}=\frac{5\pi}{6}\approx 2,6180\\ \mathrm{s}.
Observação: o período completo é T\approx 3,1416\\ \mathrm{s}, então os pontos acima são consistentes dentro de 0 a T e dão uma imagem da primeira oscilação.

Passo 6

Como esboçar os gráficos passo a passo (guia prático para a prova, sem calculadora gráfica):
  1. Escolha o intervalo de tempo: sugiro de t=0 até t=2T (ou seja, até \approx 6,28\\ \mathrm{s}) para ver duas oscilações completas.
  2. Eixo vertical:
    • Para x(t): marque de -0,06 a +0,06 (assim terá margem além de \pm 0,05).
    • Para v(t): marque de -0,12 a +0,12.
    • Para a(t): marque de -0,24 a +0,24.
  3. Marque no eixo do tempo as posições t=0, t_{\text{max1}}\approx 0,262\\ \mathrm{s}, t_{\text{zero1}}\approx 1,047\\ \mathrm{s}, t_{\text{min1}}\approx 1,833\\ \mathrm{s}, t_{\text{zero2}}\approx 2,618\\ \mathrm{s}, t=T\approx 3,142\\ \mathrm{s}. Estes pontos repetem a cada período.
  4. Plote os pontos que calculámos:
    • Em t=0: x\approx 0,0433, v=0,050, a\approx -0,1732.
    • Em t_{\text{max1}}: x=0,05, v=0, a=-0,20.
    • Em t_{\text{zero1}}: x=0, v=-0,10, a=0.
    • Em t_{\text{min1}}: x=-0,05, v=0, a=+0,20.
  5. Depois una suavemente os pontos com uma curva senoidal. Lembre-se das fases:
    • v(t) é um cosseno; ela atinge máximo antes de x(t) atingir seu máximo (velocidade “antecede” o deslocamento por \tfrac{\pi}{2} em termos de fase).
    • a(t) tem fase oposta a x(t): quando x é máximo, a é negativo e máximo em módulo.
  6. Repita o mesmo processo para desenhar v(t) e a(t) em outros três gráficos ou em subplots alinhados verticalmente para facilitar comparação de fase.

Passo 7

Interpretação de fase e relações que ajudam no esboço:
  • Relação de fases: v(t)=A\omega\cos(\omega t+\varphi)=A\omega\operatorname{sen}\!\left(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2}\right),logo a velocidade lidera o deslocamento em \tfrac{\pi}{2} (atinge máximo antes).
  • A aceleração é proporcional a -x(t): a(t)=-\omega^{2}x(t),então a(t) está defasada de \pi em relação a x(t) (sinais opostos para os mesmos instantes).
Essas relações explicam por que, ao desenhar, v cruza zero onde x tem extremos, e a tem sinal oposto a x.

Passo 8

Tabela resumida de pontos (útil para desenhar os gráficos manualmente):
\begin{array}{l|c|c|c} \text{Tempo }t & x(t)\\ (\mathrm{m}) & v(t)\\ (\mathrm{m/s}) & a(t)\\ (\mathrm{m/s^{2}})\\hline 0 & 0,0433 & 0,0500 & -0,1732\\[4pt] t_{\text{max1}}=\dfrac{\pi}{12}\approx 0,2618 & 0,0500 & 0 & -0,2000\\[4pt] t_{\text{zero1}}=\dfrac{\pi}{3}\approx 1,0472 & 0 & -0,1000 & 0\\[4pt] t_{\text{min1}}=\dfrac{7\pi}{12}\approx 1,8326 & -0,0500 & 0 & +0,2000\\[4pt] t_{\text{zero2}}=\dfrac{5\pi}{6}\approx 2,6180 & 0 & +0,1000 & 0\\[4pt] T=\pi\approx 3,1416 & 0,0433 & 0,0500 & -0,1732 \end{array}
Use essa tabela para marcar pontos e, entre eles, desenhar as curvas senoidais suaves.]

Resposta

x(t)=0,05\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)
v(t)=0,10\cos\!\left(2,00\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)
a(t)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t+\dfrac{\pi}{3}\right)
T=\pi\\ (\approx 3,1416\\ \mathrm{s}),\\ f=\dfrac{1}{\pi}\\ (\approx 0,3183\\ \mathrm{Hz})
A=0,05\\ \mathrm{m},\\ V_{\max}=0,10\\ \mathrm{m/s},\\ a_{\max}=0,20\\ \mathrm{m/s^{2}}
Pontos-chave para esboço: t_{\text{max1}}=\dfrac{\pi}{12}\approx 0,2618\\ \mathrm{s} ( x=+0,05 ), t_{\text{zero1}}=\dfrac{\pi}{3}\approx 1,0472\\ \mathrm{s} ( x=0 ), t_{\text{min1}}=\dfrac{7\pi}{12}\approx 1,8326\\ \mathrm{s} ( x=-0,05 ).

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