Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS:
Passo 1
O enunciado pede construir gráficos em função do tempo para o caso de oscilador harmônico simples (OHS) dado por
Informações dadas (peguei tudo do enunciado):
- Amplitude:
. - Frequência angular:
(unidade: ). - Fase inicial:
.
O que o enunciado pede explicitamente: “construir gráficos em função do tempo” — isto normalmente significa traçarao longo do tempo e, para entender bem o movimento, também traçar a velocidade e a aceleração . Vou então obter as fórmulas de e , calcular parâmetros importantes (período, frequência, amplitudes de velocidade e aceleração, valores iniciais) e indicar pontos-chave no tempo para desenhar os gráficos (valores numéricos e um pequeno guia de esboço).
Passo 2
Entendendo as grandezas do OHS e como obter
e
.
Breve aula prática:
- Para um OHS clássico com deslocamento
, a velocidade é a derivada temporal de : . - A derivada de
em relação a é . Aqui e . - Logo em OHS:
- A aceleração é a derivada de
ou a segunda derivada de . A derivada de é , então:
- Observação física simples:
(propriedade do OHS linear).
Vou aplicar essas fórmulas aos números do enunciado.
Passo 3
Substituindo os valores numéricos e simplificando as expressões.
Amplitude:
Frequência angular:
Fase:
Portanto as expressões ficam:
Passo 4
Calcular período, frequência e amplitudes máximas — porque isso ajuda a dimensionar os eixos do gráfico.
- Período
(tempo para uma oscilação completa):
- Frequência (ciclos por segundo):
- Amplitude máxima da velocidade (velocidade de pico):
- Amplitude máxima da aceleração (pico de módulo da aceleração):
Esses valores dizem quanto o gráfico precisa “subir” no eixo vertical:
varia entre
,
entre
,
entre
.
Passo 5
Calcular valores iniciais e pontos-chave no tempo para traçar o esboço (pontos onde
é máximo, zero e mínimo, com seus tempos).
Fórmulas para os tempos importantes:
- Máximo de
ocorre quando . - Zero de
ocorre quando . - Mínimo de
ocorre quando .
Vou calcular os primeiros pontos positivos (pequeno
).
Valor inicial
:
Tempo do primeiro máximo (
):
Neste instante
,
,
.
Primeiro zero positivo (
):
Neste instante
,
atinge valor
.
Primeiro mínimo (
para mín):
Neste instante
,
,
.
Um zero seguinte:
Observação: o período completo é
, então os pontos acima são consistentes dentro de
a
e dão uma imagem da primeira oscilação.
Passo 6
Como esboçar os gráficos passo a passo (guia prático para a prova, sem calculadora gráfica):
- Escolha o intervalo de tempo: sugiro de
até (ou seja, até ) para ver duas oscilações completas. - Eixo vertical:
- Para
: marque de a (assim terá margem além de ). - Para
: marque de a . - Para
: marque de a .
- Para
- Marque no eixo do tempo as posições
, , , , , . Estes pontos repetem a cada período. - Plote os pontos que calculámos:
- Em
: , , . - Em
: , , . - Em
: , , . - Em
: , , .
- Em
- Depois una suavemente os pontos com uma curva senoidal. Lembre-se das fases:
-
é um cosseno; ela atinge máximo antes de atingir seu máximo (velocidade “antecede” o deslocamento por em termos de fase). -
tem fase oposta a : quando é máximo, é negativo e máximo em módulo.
-
- Repita o mesmo processo para desenhar
e em outros três gráficos ou em subplots alinhados verticalmente para facilitar comparação de fase.
Passo 7
Interpretação de fase e relações que ajudam no esboço:
- Relação de fases:
logo a velocidade lidera o deslocamento em (atinge máximo antes). - A aceleração é proporcional a
: então está defasada de em relação a (sinais opostos para os mesmos instantes).
Essas relações explicam por que, ao desenhar,
cruza zero onde
tem extremos, e
tem sinal oposto a
.
Passo 8
Tabela resumida de pontos (útil para desenhar os gráficos manualmente):
Use essa tabela para marcar pontos e, entre eles, desenhar as curvas senoidais suaves.]
Resposta
Pontos-chave para esboço: