Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS:
\boldsymbol{x}(\boldsymbol{t})=\left(5,00.10^{-2}\right) \operatorname{sen}\left(2,00 t-\frac{\pi}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá a função deslocamento em movimento harmônico simples (OHS):
x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{3}\right).
O pedido é “construir gráficos em função do tempo” — isto normalmente significa obter os gráficos de deslocamento x(t) e também dos derivados importantes: velocidade v(t) e aceleração a(t), e fornecer informação prática para desenhar esses gráficos (amplitude, período, fase, pontos-chave). As informações numéricas fornecidas são:
  • amplitude A=5,00\cdot10^{-2} (unidade implícita, por ex. \mathrm{m});
  • pulsação (velocidade angular) \omega=2,00\\ \mathrm{rad/s};
  • fase inicial \varphi=-\dfrac{\pi}{3}.

Passo 2

O que é a equação de OHS e o significado de cada termo (aula curta e concreta).
A forma geral do deslocamento em OHS é
x(t)=A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi),
onde:
  • A é a amplitude (valor máximo de |x|);
  • \omega é a pulsação (velocidade angular) em \mathrm{rad/s};
  • \varphi é a fase inicial (desloca a senoide no tempo);
  • t é o tempo em segundos.
Relações úteis:
  • período T=\dfrac{2\pi}{\omega} (tempo para uma oscilação completa);
  • frequência f=\dfrac{1}{T}=\dfrac{\omega}{2\pi} (Hz);
  • velocidade obtida por derivação: v(t)=\dfrac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\varphi);
  • aceleração por derivação ou por relação direta: a(t)=\dfrac{d^2x}{dt^2}=-A\omega^{2}\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t).
    Explicação curta das derivadas: derivada de \operatorname{sen}(\cdot) é \cos(\cdot) vezes a derivada do argumento (que é \omega), e derivada de \cos dá um -\sin com fator \omega de novo, resultando em -\omega^{2} no coeficiente.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos básicos.
A=5,00\cdot10^{-2}=0,05
\omega=2,00\\ \mathrm{rad/s}
\varphi=-\frac{\pi}{3}
Período:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{2,00}=\pi\\ \mathrm{s}\approx3,1416\\ \mathrm{s}.
Frequência:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz}.

Passo 4

Escrever as funções para velocidade e aceleração (fórmulas e interpretação).
Derivando x(t):
v(t)=\frac{dx}{dt}=A\omega\cos(\omega t+\varphi).
Substituindo os números:
v(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\cdot(2,00)\cos\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{3}\right)=0,10\cos\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{3}\right)\\ \mathrm{(unidade/s)}.
Aceleração:
a(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}}=-A\omega^{2}\operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=-\omega^{2}x(t).
Numericamente:
a(t)=-\left(2,00\right)^{2}\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{3}\right)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t-\frac{\pi}{3}\right)\\ \mathrm{(unidade/s^{2})}.
Interpretação: v(t) é uma cossenoide com amplitude A\omega=0,10; a(t) tem a mesma forma de x(t) multiplicada por -\omega^{2} (a aceleração está fora de fase de 180^\circ com o deslocamento e tem amplitude \omega^{2}A=4\cdot0,05=0,20).

Passo 5

Valores iniciais e pontos-chave que ajudam a desenhar os gráficos (calculei estes valores explicando passo a passo).
Valor inicial ( t=0):
x(0)=A\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0,05\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=-0,0433013\\ \text{(aprox)}.
v(0)=0,10\cos\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=0,10\cdot\frac{1}{2}=0,050000\\ \text{(aprox)}.
a(0)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(-\frac{\pi}{3}\right)=-0,20\cdot\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=0,173205\\ \text{(aprox)}.
Pontos em frações do período úteis para esboço: t=0,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4,\\ T. Como T=\pi, temos T/4=\pi/4, T/2=\pi/2, 3T/4=3\pi/4.
Calculei o argumento \theta(t)=2,00\,t-\dfrac{\pi}{3} e então x,v,a:
Para t=0:
\theta=-\frac{\pi}{3},\quad x=-0,0433013,\quad v=0,050000,\quad a=0,173205.
Para t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \mathrm{s}:
\theta=\frac{\pi}{6},\quad \operatorname{sen}\theta=\tfrac{1}{2},
x=0,05\cdot\frac{1}{2}=0,025000,\quad v=0,10\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}\approx0,0866025,\quad a=-0,20\cdot\frac{1}{2}=-0,100000.
Para t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5708\\ \mathrm{s}:
\theta=\frac{2\pi}{3},\quad \operatorname{sen}\theta=\frac{\sqrt{3}}{2},
x\approx0,0433013,\quad v\approx-0,050000,\quad a\approx-0,173205.
Para t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\approx2,3562\\ \mathrm{s}:
\theta=\frac{7\pi}{6},\quad \operatorname{sen}\theta=-\frac{1}{2},
x=-0,025000,\quad v\approx-0,0866025,\quad a=0,100000.
Para t=T=\pi\approx3,1416\\ \mathrm{s}:
\theta=\frac{5\pi}{3},\quad \operatorname{sen}\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2},
x=-0,0433013\\ \text{(volta ao valor inicial)},\quad v\approx0,050000,\quad a\approx0,173205.
Esses pontos mostram a oscilação e são suficientes para traçar uma senoide bem precisa no papel.

Passo 6

Zeros, máximos e como encontrá-los (fórmulas para marcar no gráfico).
  • Zeros de x(t) ocorrem quando \operatorname{sen}(\omega t+\varphi)=0, isto é \omega t+\varphi=n\pi. Assim
t=\frac{n\pi-\varphi}{\omega}=\frac{n\pi+\pi/3}{2,00},\quad n\in\mathbb{Z}.
  • Máximos (pico positivo) ocorrem quando \omega t+\varphi=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n, então
t_{\text{máx}}=\frac{\tfrac{\pi}{2}-\varphi+2\pi n}{\omega}=\frac{\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{3}+2\pi n}{2}=\frac{5\pi/6+2\pi n}{2}.á
Exemplo: primeiro máximo para n=0 em t=\dfrac{5\pi}{12}\approx1,3080\\ \mathrm{s} com x=A.
  • Mínimos semelhantes para \omega t+\varphi=\dfrac{3\pi}{2}+2\pi n.
Passo prático para desenhar no papel:
  1. Desenhe eixos t (horizontal) e x (vertical). Marque amplitude \pm A=\pm0,05.
  2. Marque o período T=\pi no eixo t; nas divisões coloque 0,\\ T/4,\\ T/2,\\\ 3T/4,\\ T (valores numéricos já indicados).
  3. Plote os pontos calculados no Passo 5 e passe uma curva suave senoide que passe por esses pontos.
  4. Para velocidade, plote uma cossenoide com amplitude A\omega=0,10 e mesma pulsação \omega, usando os zeros e máximos deslocados (p.ex. v(0)=0,05 etc.). Para aceleração, use amplitude 0,20 e note a inversão de sinal em relação a x(t) (aceleração é senoide invertida).
  5. Se quiser mais suavidade, trace de t=0 até t=2T para ver duas oscilações completas.

Passo 7

Interpretação física rápida e dicas para prova (como reconhecer rápido na hora).
  • Gráfico de x(t): senoide de amplitude 0,05, período \pi. A fase \varphi=-\pi/3 desloca a senoide para a direita, por isso x(0) é negativo.
  • Gráfico de v(t): cossenoide com amplitude 0,10, cruza zero quando x(t) atinge extremos, tem sinal oposto da derivada.
  • Gráfico de a(t): mesma forma de x(t) multiplicada por -4, ou seja, invertida e com amplitude 0,20.
    Dica de desenho rápido na prova: marque amplitude e período, calcule x(0) e o primeiro máximo (ou primeiro zero) e una com curva senoide — isso dá um desenho correto e rápido.

Resposta

x(t)=\left(5,00\cdot10^{-2}\right)\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t-\dfrac{\pi}{3}\right)
v(t)=0,10\cos\!\left(2,00\,t-\dfrac{\pi}{3}\right)
a(t)=-0,20\operatorname{sen}\!\left(2,00\,t-\dfrac{\pi}{3}\right)=-4,00\,x(t)
T=\pi\\ \mathrm{s}\approx3,1416\\ \mathrm{s}
f=\dfrac{1}{\pi}\\ \mathrm{Hz}\approx0,3183\\ \mathrm{Hz}
Pontos úteis:
t=0:\\ x(0)\approx-0,0433013,\\ v(0)\approx0,050000,\\ a(0)\approx0,173205
t=\dfrac{T}{4}=\dfrac{\pi}{4}\approx0,7854\\ \mathrm{s}:\\ x\approx0,025000,\\ v\approx0,0866025,\\ a\approx-0,100000
t=\dfrac{T}{2}=\dfrac{\pi}{2}\approx1,5708\\ \mathrm{s}:\\ x\approx0,0433013,\\ v\approx-0,050000,\\ a\approx-0,173205
t=\dfrac{3T}{4}=\dfrac{3\pi}{4}\approx2,3562\\ \mathrm{s}:\\ x\approx-0,025000,\\ v\approx-0,0866025,\\ a\approx0,100000
Observação prática: para desenhar, use eixo de tempo de 0 a T (ou 2T), marque amplitudes \pm0,05 e os pontos acima e una com curva senoide suave. Boa sorte — consegue desenhar isso rapidinho na prova!

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