Uma massa m está suspensa por um fio de massa desprezível, a outra extremidade do fio está enrolada várias vezes em torno de um cilindro horizontal de raio R e momento de inércia I, o qual está livre para girar em torno de um eixo horizontal fixo. Usando coordenadas apropriadas, especifique a Lagrangiana e a equação de movimento de Lagrange e determine a aceleração da massa m. [A energia cinética do cilindro girando é I \omega^{2} / 2.]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado.
  • Pede: (i) especificar a Lagrangiana do sistema; (ii) escrever a equação de movimento de Lagrange; (iii) determinar a aceleração da massa m.
  • Dados importantes:
    • Massa suspensa: m.
    • Fio de massa desprezível sem esticar, enrolado sem deslizar no cilindro.
    • Cilindro de raio R e momento de inércia I em torno do eixo horizontal fixo.
    • Energia cinética de rotação do cilindro: \dfrac{1}{2}I\omega^{2}.
    • A única força potencial relevante é a gravidade mg.
  • Observação para organizar: é necessário escolher coordenadas (uma só coordenada generalizada é suficiente porque há uma restrição geométrica entre rotação do cilindro e deslocamento da massa).

Passo 2

Escolha de coordenadas e convenções de sinal (explicando didaticamente).
  • Vou escolher uma única coordenada generalizada \theta: o ângulo de rotação do cilindro. Defino \theta de modo que um aumento em \theta corresponde a desenrolar o fio e fazer a massa descer.
  • Chamo x o deslocamento vertical da massa medido para baixo a partir de uma referência fixa. Por conveniência uso x relacionado a \theta pela restrição sem deslizamento:
x = R\,\theta.
  • Significados: \theta em radianos, x em metros. A velocidade angular do cilindro é \dot\theta e a velocidade da massa é \dot x. Pelo vínculo sem deslizamento:
\dot x = R\,\dot\theta.
  • Escolhi x positivo para baixo; assim, quando \theta aumenta a massa desce (sinal consistente).

Passo 3

Energia cinética das partes (passo-a-passo, sem pular contas).
  • Energia cinética translacional da massa m:
T_m = \tfrac{1}{2} m \dot x^{2}.
  • Energia cinética de rotação do cilindro (dada):
T_c = \tfrac{1}{2} I \omega^{2},
onde \omega é a velocidade angular; aqui \omega=\dot\theta. Portanto
T_c = \tfrac{1}{2} I \dot\theta^{2}.
  • Usando o vínculo \dot x = R\dot\theta, escrevo T_m em termos de \dot\theta:
T_m = \tfrac{1}{2} m (R\dot\theta)^{2} = \tfrac{1}{2} m R^{2}\dot\theta^{2}.
  • Energia cinética total:
T = T_m + T_c = \tfrac{1}{2} m R^{2}\dot\theta^{2} + \tfrac{1}{2} I \dot\theta^{2}.

Passo 4

Energia potencial (explicando a escolha da referência e sinais).
  • Para a gravidade, a energia potencial usual é U = m g h onde h é a altura medida para cima. Como eu usei x medido para baixo, a altura é h = -x. Logo
U = m g h = - m g x.
  • Usando x = R\theta
U = - m g R \theta.
  • Observação didática: o sinal negativo significa que, ao aumentar \theta (massa descendo), a energia potencial diminui, como esperado.

Passo 5

Construção da Lagrangiana (e explicação do que é a Lagrangiana).
  • A Lagrangiana é definida por L = T - U. Aqui T é a energia cinética total e U a energia potencial total.
  • Substituindo os resultados anteriores:
L = \tfrac{1}{2} m R^{2}\dot\theta^{2} + \tfrac{1}{2} I \dot\theta^{2} - \big(- m g R \theta\big).
  • Simplificando o termo de potencial (duplo negativo):
L = \tfrac{1}{2}\big(m R^{2} + I\big)\dot\theta^{2} + m g R \theta.
  • Interpretação rápida: o termo quadrático em \dot\theta é a energia cinética efetiva associada à coordenada \theta; o termo linear em \theta vem da gravidade (potencial).

Passo 6

Aplicar a equação de Lagrange (mostrando cada passo de cálculo).
  • A equação de Lagrange para uma coordenada generalizada \theta é:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}\right) - \frac{\partial L}{\partial \theta} = 0.
  • Calculo \dfrac{\partial L}{\partial \dot\theta}:
\frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = \big(m R^{2} + I\big)\dot\theta.
  • Agora o derivado temporal:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot\theta}\right) = \big(m R^{2} + I\big)\ddot\theta,
pois m,R,I são constantes.
  • Calculo \dfrac{\partial L}{\partial \theta}:
\frac{\partial L}{\partial \theta} = m g R.
  • Substituindo na equação de Lagrange:
\big(m R^{2} + I\big)\ddot\theta - m g R = 0.
  • Reescrevendo:
\big(m R^{2} + I\big)\ddot\theta = m g R.

Passo 7

Resolver para a aceleração angular e relacionar com a aceleração linear da massa (explicação final).
  • Isolando \ddot\theta:
\ddot\theta = \frac{m g R}{m R^{2} + I}.
  • A aceleração linear da massa m (para baixo, já que x=R\theta) é
\ddot x = R\,\ddot\theta.
  • Portanto, a aceleração da massa m é obtida substituindo \ddot\theta acima. (A resposta final vem na seção indicada abaixo.)
  • Interpretação física rápida: se I=0 a aceleração fica g (queda livre, já que nada resiste ao desenrolar); se I é grande a aceleração diminui — o giro do cilindro consome parte da energia cinética, reduzindo a aceleração da massa.

Resposta

a=\ddot x=\frac{m g R^{2}}{m R^{2}+I}

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