Uma massa
está suspensa por um fio de massa desprezível, a outra extremidade do fio está enrolada várias vezes em torno de um cilindro horizontal de raio
e momento de inércia
, o qual está livre para girar em torno de um eixo horizontal fixo. Usando coordenadas apropriadas, especifique a Lagrangiana e a equação de movimento de Lagrange e determine a aceleração da massa
. [A energia cinética do cilindro girando é
.]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede: (i) especificar a Lagrangiana do sistema; (ii) escrever a equação de movimento de Lagrange; (iii) determinar a aceleração da massa
. - Dados importantes:
- Massa suspensa:
. - Fio de massa desprezível sem esticar, enrolado sem deslizar no cilindro.
- Cilindro de raio
e momento de inércia em torno do eixo horizontal fixo. - Energia cinética de rotação do cilindro:
. - A única força potencial relevante é a gravidade
.
- Massa suspensa:
- Observação para organizar: é necessário escolher coordenadas (uma só coordenada generalizada é suficiente porque há uma restrição geométrica entre rotação do cilindro e deslocamento da massa).
Passo 2
Escolha de coordenadas e convenções de sinal (explicando didaticamente).
- Vou escolher uma única coordenada generalizada
: o ângulo de rotação do cilindro. Defino de modo que um aumento em corresponde a desenrolar o fio e fazer a massa descer. - Chamo
o deslocamento vertical da massa medido para baixo a partir de uma referência fixa. Por conveniência uso relacionado a pela restrição sem deslizamento:
- Significados:
em radianos, em metros. A velocidade angular do cilindro é e a velocidade da massa é . Pelo vínculo sem deslizamento:
- Escolhi
positivo para baixo; assim, quando aumenta a massa desce (sinal consistente).
Passo 3
Energia cinética das partes (passo-a-passo, sem pular contas).
- Energia cinética translacional da massa
:
- Energia cinética de rotação do cilindro (dada):
onde
é a velocidade angular; aqui
. Portanto
- Usando o vínculo
, escrevo em termos de :
- Energia cinética total:
Passo 4
Energia potencial (explicando a escolha da referência e sinais).
- Para a gravidade, a energia potencial usual é
onde é a altura medida para cima. Como eu usei medido para baixo, a altura é . Logo
- Usando
dá
- Observação didática: o sinal negativo significa que, ao aumentar
(massa descendo), a energia potencial diminui, como esperado.
Passo 5
Construção da Lagrangiana (e explicação do que é a Lagrangiana).
- A Lagrangiana é definida por
. Aqui é a energia cinética total e a energia potencial total. - Substituindo os resultados anteriores:
- Simplificando o termo de potencial (duplo negativo):
- Interpretação rápida: o termo quadrático em
é a energia cinética efetiva associada à coordenada ; o termo linear em vem da gravidade (potencial).
Passo 6
Aplicar a equação de Lagrange (mostrando cada passo de cálculo).
- A equação de Lagrange para uma coordenada generalizada
é:
- Calculo
:
- Agora o derivado temporal:
pois
são constantes.
- Calculo
:
- Substituindo na equação de Lagrange:
- Reescrevendo:
Passo 7
Resolver para a aceleração angular e relacionar com a aceleração linear da massa (explicação final).
- Isolando
:
- A aceleração linear da massa
(para baixo, já que ) é
-
Portanto, a aceleração da massa
é obtida substituindo acima. (A resposta final vem na seção indicada abaixo.) -
Interpretação física rápida: se
a aceleração fica (queda livre, já que nada resiste ao desenrolar); se é grande a aceleração diminui — o giro do cilindro consome parte da energia cinética, reduzindo a aceleração da massa.