Use o método Lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia I. (A energia cinética da roldana é I \omega^{2} / 2, onde \omega é a velocidade angular.)

Passo 1

O enunciado pede: usar o método lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood quando a roldana tem momento de inércia I. Vou listar as informações e as incógnitas que vou usar (sem assumir nada que não foi dito):
  • Massas: m_1 e m_2 (estão presas nas extremidades de uma mesma corda sem deslizar sobre a roldana).
  • Roldana: raio R e momento de inércia I.
  • Aceleração da gravidade: g.
  • Quantidade a encontrar: a aceleração das massas (direção e sinal; usarei sinal positivo para baixo do lado da massa m_1).
  • Informação extra útil (dada): energia cinética da roldana é \tfrac{1}{2}I\omega^2, onde \omega é a velocidade angular da roldana.
  • Pressuposto físico: corda inextensível e sem deslizamento (logo a velocidade linear da corda na periferia da roldana é v=R\omega).

Passo 2

Escolha de coordenada e convenções (essencial para montar o lagrangiano e não se perder com sinais):
  • Defino a coordenada generalizada \,x(t)\, como o deslocamento vertical da massa m_1 no sentido para baixo. Assim \dot{x} é a velocidade de m_1 para baixo e \ddot{x} sua aceleração para baixo.
  • Por inextensibilidade da corda, a massa m_2 desloca-se pela mesma distância, mas no sentido oposto; em particular sua velocidade é -\dot{x}.
  • Para a roldana, pela condição de não deslizamento vale
\omega=\frac{\dot{x}}{R}.
  • Observação sobre sinal: com essa escolha, se \ddot{x}>0 então m_1 está acelerando para baixo; se \ddot{x}<0 então m_1 sobe (ou seja, m_2 desce).

Passo 3

Energia cinética do sistema — construir termo por termo e explicar:
  • Energia cinética da massa m_1:
T_1=\tfrac{1}{2}m_1\dot{x}^2,
porque sua velocidade é \dot{x}.
  • Energia cinética da massa m_2:
T_2=\tfrac{1}{2}m_2(\dot{x}_2)^2=\tfrac{1}{2}m_2(-\dot{x})^2=\tfrac{1}{2}m_2\dot{x}^2,
pois \dot{x}_2=-\dot{x} e o quadrado elimina o sinal.
  • Energia cinética da roldana:
T_{\text{rold}}=\tfrac{1}{2}I\omega^2=\tfrac{1}{2}I\left(\frac{\dot{x}}{R}\right)^2=\tfrac{1}{2}\frac{I}{R^2}\dot{x}^2.
  • Soma total da energia cinética:
T=T_1+T_2+T_{\text{rold}}=\tfrac{1}{2}\Big(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\Big)\dot{x}^2.
Explicação: isso mostra que a roldana acrescenta efetivamente uma “massa rotacional” equivalente \,I/R^2 ao termo inercial do sistema; é por isso que a roldana reduz a aceleração, comparada ao caso sem inércia.

Passo 4

Energia potencial (gravidade) — escolha de referência e expressão:
  • Use a convenção física padrão de que a energia potencial gravitacional de uma massa é V=mgh com h medido para cima. Como escolhemos x para baixo, a altura h é h=-x para m_1. Portanto a contribuição de m_1 é V_1=-m_1 g x.
  • Para m_2, sua coordenada vertical (para cima positiva) corresponde a h_2=-x_2. Como x_2=\text{const}-x, temos h_2=-(\text{const}-x)= -\text{const}+x. A constante pode ser absorvida, ficando a contribuição relevante de m_2 proporcional a +m_2 g x.
  • Somando e ignorando constantes (não afetam as equações de movimento), a energia potencial relevante depende de x como
V=(m_2-m_1)g\,x.
Explicação: se m_1 desce ( x aumenta) e m_1>m_2, a energia potencial total diminui, liberando energia para a cinética — isso aparece no sinal correto da expressão acima.

Passo 5

Montar o lagrangiano e calcular as derivadas necessárias:
  • Lagrangiano definido por
L=T-V=\tfrac{1}{2}\Big(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\Big)\dot{x}^2-(m_2-m_1)g\,x.
  • Cálculo de \dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}:
\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}=\Big(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\Big)\dot{x}.
  • Derivada temporal dessa quantidade:
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)=\Big(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\Big)\ddot{x},
pois as massas e I,R são constantes.
  • Cálculo de \dfrac{\partial L}{\partial x}:
\frac{\partial L}{\partial x}=-(m_2-m_1)g=(m_1-m_2)g.
(Expliquei o passo: derivada de - (m_2-m_1)g x em relação a x -(m_2-m_1)g, que é igual a (m_1-m_2)g.)

Passo 6

Aplicar a equação de Euler–Lagrange e resolver para \ddot{x}:
  • A equação de Euler–Lagrange é
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}=0.
Substituindo as quantidades calculadas:
\Big(m_1+m_2+\frac{I}{R^2}\Big)\ddot{x}-(m_1-m_2)g=0.
  • Isolar \ddot{x}:
\ddot{x}=\frac{(m_1-m_2)g}{\,m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}\,}.
Explicação: essa é a aceleração da coordenada x, que por construção é a aceleração para baixo da massa m_1. Note que, se m_1>m_2 então \ddot{x}>0 (m1 desce); se m_2>m_1 então \ddot{x}<0 (m1 sobe). Se I=0 (roldana sem inércia), a expressão reduz-se à fórmula conhecida \ddot{x}=(m_1-m_2)g/(m_1+m_2).

Passo 7

Interpretação física curta e checagens práticas:
  • A roldana com inércia aparece apenas somando ao denominador o termo I/R^2, que atua como uma massa efetiva extra: isso diminui a aceleração absoluta em relação ao caso sem inércia.
  • Limites úteis:
    • Se I\to 0 então \ddot{x}\to\dfrac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2} (Atwood ideal).
    • Se I muito grande, a aceleração tende a zero (roldana muito pesada impede movimento rápido).
  • Motivação prática: para resolver na prova, monte T e V cuidadosamente, use a relação \omega=\dot{x}/R e aplique Euler–Lagrange; normalmente o passo algébrico final é direto.

Resposta

\ddot{x}=\frac{(m_1-m_2)\,g}{\,m_1+m_2+\dfrac{I}{R^2}\,}

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