Use o método Lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood, incluindo o efeito da roldana com momento de inércia
. (A energia cinética da roldana é
, onde
é a velocidade angular.)
Passo 1
O enunciado pede: usar o método lagrangiano para determinar a aceleração da máquina de Atwood quando a roldana tem momento de inércia
. Vou listar as informações e as incógnitas que vou usar (sem assumir nada que não foi dito):
- Massas:
e (estão presas nas extremidades de uma mesma corda sem deslizar sobre a roldana). - Roldana: raio
e momento de inércia . - Aceleração da gravidade:
. - Quantidade a encontrar: a aceleração das massas (direção e sinal; usarei sinal positivo para baixo do lado da massa
). - Informação extra útil (dada): energia cinética da roldana é
, onde é a velocidade angular da roldana. - Pressuposto físico: corda inextensível e sem deslizamento (logo a velocidade linear da corda na periferia da roldana é
).
Passo 2
Escolha de coordenada e convenções (essencial para montar o lagrangiano e não se perder com sinais):
- Defino a coordenada generalizada
como o deslocamento vertical da massa no sentido para baixo. Assim é a velocidade de para baixo e sua aceleração para baixo. - Por inextensibilidade da corda, a massa
desloca-se pela mesma distância, mas no sentido oposto; em particular sua velocidade é . - Para a roldana, pela condição de não deslizamento vale
- Observação sobre sinal: com essa escolha, se
então está acelerando para baixo; se então sobe (ou seja, desce).
Passo 3
Energia cinética do sistema — construir termo por termo e explicar:
- Energia cinética da massa
:
porque sua velocidade é
.
- Energia cinética da massa
:
pois
e o quadrado elimina o sinal.
- Energia cinética da roldana:
- Soma total da energia cinética:
Explicação: isso mostra que a roldana acrescenta efetivamente uma “massa rotacional” equivalente
ao termo inercial do sistema; é por isso que a roldana reduz a aceleração, comparada ao caso sem inércia.
Passo 4
Energia potencial (gravidade) — escolha de referência e expressão:
- Use a convenção física padrão de que a energia potencial gravitacional de uma massa é
com medido para cima. Como escolhemos para baixo, a altura é para . Portanto a contribuição de é . - Para
, sua coordenada vertical (para cima positiva) corresponde a . Como , temos . A constante pode ser absorvida, ficando a contribuição relevante de proporcional a . - Somando e ignorando constantes (não afetam as equações de movimento), a energia potencial relevante depende de
como
Explicação: se
desce (
aumenta) e
, a energia potencial total diminui, liberando energia para a cinética — isso aparece no sinal correto da expressão acima.
Passo 5
Montar o lagrangiano e calcular as derivadas necessárias:
- Lagrangiano definido por
- Cálculo de
:
- Derivada temporal dessa quantidade:
pois as massas e
são constantes.
- Cálculo de
:
(Expliquei o passo: derivada de
em relação a
dá
, que é igual a
.)
Passo 6
Aplicar a equação de Euler–Lagrange e resolver para
:
- A equação de Euler–Lagrange é
Substituindo as quantidades calculadas:
- Isolar
:
Explicação: essa é a aceleração da coordenada
, que por construção é a aceleração para baixo da massa
. Note que, se
então
(m1 desce); se
então
(m1 sobe). Se
(roldana sem inércia), a expressão reduz-se à fórmula conhecida
.
Passo 7
Interpretação física curta e checagens práticas:
- A roldana com inércia aparece apenas somando ao denominador o termo
, que atua como uma massa efetiva extra: isso diminui a aceleração absoluta em relação ao caso sem inércia. - Limites úteis:
- Se
então (Atwood ideal). - Se
muito grande, a aceleração tende a zero (roldana muito pesada impede movimento rápido).
- Se
- Motivação prática: para resolver na prova, monte T e V cuidadosamente, use a relação
e aplique Euler–Lagrange; normalmente o passo algébrico final é direto.