Construir gráficos em função o tempo para os casos seguintes de OHS, representando no eixo horizontal duas escalas: a escala de múltiplos e submúltiplos do período e a escala do ângulo de fase da oscilação.
x(t)=x_{m} \operatorname{sen}(0,50 t)

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei a expressão do enunciado).
  • Função dada: x(t)=x_{m}\,\operatorname{sen}\!\bigl(0{,}50\,t\bigr).
  • O enunciado pede: construir o(s) gráfico(s) de oscilação no tempo e representar no eixo horizontal duas escalas simultâneas:
    1. escala em múltiplos e submúltiplos do período T (por exemplo 0,\;T/8,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T,\dots);
    2. escala do ângulo de fase da oscilação (valores em radianos como 0,\;\pi/4,\;\pi/2,\;\pi,\;2\pi,\dots).
  • Informações explícitas que temos: a amplitude é x_{m} (não numérica) e a frequência angular dentro do seno é \omega=0{,}50 (unidade: \text{rad/s}).

Passo 2

Significado físico e fórmulas úteis (aulas rápidas para entender o que desenhar).
  • Amplitude: x_{m} é o valor máximo que a função atinge (no eixo vertical).
  • Frequência angular: \omega é o argumento do seno. Aqui \omega=0{,}50.
  • Período T: tempo necessário para uma oscilação completa. Fórmula:
T=\frac{2\pi}{\omega}.
  • Frequência (ciclos por segundo) f:
f=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}.
  • Ângulo de fase \varphi em função do tempo:
\varphi(t)=\omega t.
Explicação curta: para cada instante t a oscilação “andou” um ângulo \varphi. Uma volta completa corresponde a \varphi=2\pi e ao tempo t=T.

Passo 3

Calcular os parâmetros numéricos principais (faça essas contas na prova).
  • Calcule T:
T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi}{0{,}50}=4\pi\\ \text{s}\approx 12{,}566\\ \text{s}.
  • Calcule f:
f=\frac{1}{T}=\frac{1}{4\pi}\approx 0{,}07958\\ \text{Hz}.
  • Expressão da fase:
\varphi(t)=\omega t=0{,}50\,t\quad(\text{radianos}).

Passo 4

Escolher que marcações colocar no eixo horizontal: razão prática.
  • É muito conveniente marcar os submúltiplos T/8,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T porque correspondem a ângulos simples em radianos ( \pi/4,\;\pi/2,\;\pi,\;3\pi/2,\;2\pi).
  • Valores numéricos (calcule na prova para as marcas):
    • T/8=\dfrac{4\pi}{8}=\dfrac{\pi}{2}\approx 1{,}571\\ \text{s}.
    • T/4=\dfrac{\pi}{1}\approx 3{,}142\\ \text{s}.
    • T/2=2\pi\approx 6{,}283\\ \text{s}.
    • 3T/4=3\pi\approx 9{,}425\\ \text{s}.
    • T=4\pi\approx 12{,}566\\ \text{s}.
  • Correspondência com a fase \varphi (radianos):
    • em t=0 temos \varphi=0.
    • em t=T/8 temos \varphi=2\pi\cdot\frac{1}{8}=\dfrac{\pi}{4}.
    • em t=T/4 temos \varphi=\dfrac{\pi}{2}.
    • em t=T/2 temos \varphi=\pi.
    • em t=3T/4 temos \varphi=\dfrac{3\pi}{2}.
    • em t=T temos \varphi=2\pi.

Passo 5

Calcular os valores de x(t) nos pontos importantes (para marcar no gráfico).
  • Lembre que x(t)=x_{m}\operatorname{sen}(\varphi(t)) com \varphi(t)=0{,}50\,t. Usando as fases acima:
    • t=0\Rightarrow \varphi=0\Rightarrow x= x_{m}\operatorname{sen}(0)=0.
    • t=T/8\Rightarrow \varphi=\pi/4\Rightarrow x= x_{m}\operatorname{sen}(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,x_{m}\approx 0{,}7071\,x_{m}.
    • t=T/4\Rightarrow \varphi=\pi/2\Rightarrow x= x_{m}\operatorname{sen}(\pi/2)=x_{m}.
    • t=T/2\Rightarrow \varphi=\pi\Rightarrow x= x_{m}\operatorname{sen}(\pi)=0.
    • t=3T/4\Rightarrow \varphi=3\pi/2\Rightarrow x= x_{m}\operatorname{sen}(3\pi/2)=-x_{m}.
    • t=T\Rightarrow \varphi=2\pi\Rightarrow x=0.
  • Esses pontos são suficientes para esboçar bem uma volta inteira do seno.

Passo 6

Instruções passo-a-passo para desenhar o gráfico (como fazer na prova sem computador).
  1. No eixo vertical marque de -x_{m} a +x_{m} (marcas úteis: -x_{m},\; -0{,}5x_{m},\;0,\;0{,}5x_{m},\;x_{m}).
  2. No eixo horizontal escolha uma extensão que contenha ao menos uma ou duas oscilações, por exemplo de t=0 até t=2T.
  3. Marque as posições de tempo t=0,\;T/8,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T,\; \dots usando os valores numéricos calculados no Passo 4.
  4. Em cada marcação de tempo escreva também a fase correspondente em radianos acima ou abaixo do eixo: por exemplo sob t=T/4 escreva \varphi=\pi/2.
  5. Para desenhar a curva:
    • coloque os pontos calculados do Passo 5: em t=0 ( x=0), em t=T/4 ( x=+x_{m}), em t=T/2 ( x=0), em t=3T/4 ( x=-x_{m}), em t=T ( x=0).
    • ligue-os suavemente desenhando a forma de seno (curva suave que atinge máximo em T/4 e mínimo em 3T/4).
  6. Se quiser maior precisão coloque também os pontos de T/8 e 3T/8 (valores \pm 0{,}7071\,x_{m}) para acertar a curvatura.
  7. Repita o padrão periodicamente para t>T (ou para t<0, se desejar um traçado antes de t=0).

Passo 7

Como representar as duas escalas simultâneas (duas dicas práticas).
  • Opção A (mais comum em provas): usar eixo inferior para o tempo em segundos e eixo superior paralelo para a fase em radianos. Em cada marca de tempo coloque, em cima do eixo, a fase correspondente \varphi=0,\;\pi/4,\;\pi/2,\;\pi,\;2\pi.
  • Opção B (se quiser compactar): abaixo do eixo escreva as frações do período 0,\;T/8,\;T/4,\dots e acima escreva as fases \;0,\;\pi/4,\;\pi/2,\dots. Assim o examinador vê simultaneamente o múltiplo do período e o ângulo de fase.
  • Observação prática: ao rotular \pi/2,\;\pi,\;2\pi prefira usar os símbolos \pi e frações (mais claros do que números decimais).

Passo 8

Sugestões finais e variações para a prova (truques que salvam pontos).
  • Se o avaliador não pede x_{m} numérico, é aceitável desenhar com x_{m}=1 (normalizado) e anotar que o eixo vertical está em unidades de x_{m}.
  • Se pedirem a inclinação inicial: calcule x'(t)=x_{m}\cdot 0{,}50\cos(0{,}50t). Em t=0, x'(0)=0{,}50\,x_{m} (mostre que a curva sobe no início).
  • Para marcar graus em vez de radianos, converta: 180^\circ=\pi rad, logo \pi/2=90^\circ, \pi/4=45^\circ, etc.
  • Para desenhar rapidamente à mão, foque em marcar corretamente 0,\;T/4,\;T/2,\;3T/4,\;T e os valores \;0,\;+x_{m},\;0,\;-x_{m},\;0.

Resposta

\omega=0{,}50\\ \text{rad/s}\newline
T=\dfrac{2\pi}{\omega}=4\pi\\ \text{s}\approx 12{,}566\\ \text{s}\newline
f=\dfrac{1}{T}\approx 0{,}07958\\ \text{Hz}\newline
\varphi(t)=\omega t=0{,}50\,t\newline
Pontos-chave (tempo \Rightarrow fase \Rightarrow x(t)):\newline
t=0\Rightarrow \varphi=0\Rightarrow x=0\newline
t=\dfrac{T}{8}=\dfrac{\pi}{2}\\ \text{s}\approx1{,}571\\ \text{s}\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{4}\Rightarrow x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\,x_{m}\newline
t=\dfrac{T}{4}=\pi\\ \text{s}\approx3{,}142\\ \text{s}\Rightarrow \varphi=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow x=+x_{m}\newline
t=\dfrac{T}{2}=2\pi\\ \text{s}\approx6{,}283\\ \text{s}\Rightarrow \varphi=\pi\Rightarrow x=0\newline
t=\dfrac{3T}{4}=3\pi\\ \text{s}\approx9{,}425\\ \text{s}\Rightarrow \varphi=\dfrac{3\pi}{2}\Rightarrow x=-x_{m}\newline
t=T=4\pi\\ \text{s}\approx12{,}566\\ \text{s}\Rightarrow \varphi=2\pi\Rightarrow x=0

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