Construir os gráficos das funções abaixo. Determinar a interseção com os eixos coordenados. Indique o domínio e a imagem das funções.
(10)
.
(10)
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar a função exponencial transformada dada por
, construindo seu gráfico, achando interceptos nos eixos, e indicando domínio e imagem.
Passo 2
Vamos isolar
. Subtraindo 2 de ambos os lados, temos
Isso mostra claramente a forma da transformação sobre a função
.
Passo 3
Para qualquer função da forma
, o domínio é todo o conjunto dos números reais, pois a exponencial está definida para qualquer
. Logo, o domínio é
Passo 4
Agora a imagem. Note que
é sempre positiva, isto é,
. Então
e ao subtrair 2 ficamos com valores sempre menores que
. Assim a imagem é
Passo 5
Intercepto com o eixo
(y=0):
Não há solução, pois a exponencial nunca é negativa. Logo, não existe intercepto em
.
Passo 6
Intercepto com o eixo
(x=0):
Portanto o ponto de interseção com o eixo
é
.
Passo 7
Para o esboço do gráfico, observe:
• A assíntota horizontal é , pois quando
,
e
por baixo.
• Em ,
então
, dando o ponto
.
• Quando ,
e
, o gráfico desce indefinidamente.
Com essas informações você consegue traçar a curva: é o gráfico de deslocado 5 unidades para a direita, refletido em relação ao eixo
e depois deslocado 2 para baixo.
• A assíntota horizontal é
• Em
• Quando
Com essas informações você consegue traçar a curva: é o gráfico de
Resposta
Domínio: (-∞, +∞)
Imagem: (-∞, -2)
Intercepto em x: nenhum
Intercepto em y: (0, -2 - e^{-5})
Assíntota horizontal: y = -2
Gráfico: curva decrescente que se aproxima de y = -2 por baixo e vai a -∞ conforme x→+∞
Imagem: (-∞, -2)
Intercepto em x: nenhum
Intercepto em y: (0, -2 - e^{-5})
Assíntota horizontal: y = -2
Gráfico: curva decrescente que se aproxima de y = -2 por baixo e vai a -∞ conforme x→+∞