Utilize a regra da cadeira para encontrar d zd t ou d wd t.
w=ln raizx^2+y^2+z^2, x=sin t, y=cos t, z=tan t.

Passo 1

O enunciado pede para usar a regra da cadeia em funções compostas: temos w=lnraizx^2+y^2+z^2 com x=sin t, y=cos t e z=tan t. Vamos precisar das derivadas parciais de w em relação a x,y,z e das derivadas de x,y,z em relação a t.

Passo 2

Primeiro, note que . Logo, usando derivada de logaritmo, temos as derivadas parciais:
w=lnraizx^2+y^2+z^2=tfrac12ln(x^2+y^2+z^2)

Passo 3

Em seguida, derivamos as funções de t:
dxdt=cos t, dydt=-sin t, dzdt=sec^2 t

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia:
dwdt=partial wpartial xdxdt+partial wpartial ydydt+partial wpartial zdzdt

Passo 5

Por fim, substituímos x=sin t, y=cos t, z=tan t e as derivadas: o numerador fica
sin tcos t-cos tsin t+tan tsec^2 t=tan tsec^2 t,
e o denominador x^2+y^2+z^2=1+tan^2 t=sec^2 t. Assim
dwdt=tan tsec^2 tsec^2 t=tan t

Resposta

dwdt=tan t

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