Construir os gráficos das funções definidas em \mathbb{R} :
f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função definida em \mathbb{R}
f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2.
Informações dadas e o que precisamos produzir:
  • A expressão explícita da função \left|x^{2}-1\right|-2.
  • O gráfico de f em todo o eixo real (pelo menos os pontos-chave e a forma das curvas).
  • Pontos importantes para desenhar (vértices, interseções com eixos, continuidade, simetrias).
    Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o objetivo e os dados acima.

Passo 2

Entendendo o valor absoluto e convertendo para uma forma que dá para desenhar:
  • Regra do valor absoluto: para qualquer expressão A\), \[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
  • Aqui A=x^{2}-1\]. Então identificamos onde \[x^{2}-1\ge0 e onde x^{2}-1<0.
    • x^{2}-1\ge0 \iff x^{2}\ge1 \iff |x|\ge1.
    • x^{2}-1<0 \iff |x|<1.
  • Aplicando a regra do valor absoluto obtemos a forma peça-a-peça da função (esta é a forma que vamos desenhar):
f(x)= \begin{cases} -x^{2}-1, & \text{se } |x|<1,\\[4pt] x^{2}-3, & \text{se } |x|\ge1. \end{cases}
Explicação didática: transformamos |x^{2}-1|\] em \((x^{2}-1) quando x^{2}-1\ge0 (fora do intervalo [-1,1]) e em -(x^{2}-1) quando x^{2}-1<0 (dentro do intervalo (-1,1)). Depois subtraímos 2 em ambos os casos.]

Passo 3

Análise da ramificação interna |x|<1: f(x)=-x^{2}-1.
  • Esta é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} é negativo).
  • Vértice da parábola: para g(x)=-x^{2}-1 a fórmula padrão diz que o vértice está em x=0. Substituindo, f(0) = -0^{2}-1 = -1.Então há um ponto (0,-1) que é o máximo local desta ramificação.
  • Valores nos pontos-chave dentro do intervalo:
    • x=0 \Rightarrow f(0)=-1.
    • x=\pm \tfrac{1}{2} \Rightarrow f\!\left(\pm\tfrac{1}{2}\right) = -\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-1 = -\tfrac{1}{4}-1 = -\tfrac{5}{4} = -1{,}25.
    • Aproximando os extremos do intervalo: x\to\pm1^{-}\Rightarrow f(x)\to -1-1=-2. Em x=\pm1 a outra ramificação também dá -2 (veremos a continuidade no próximo passo).
Didática curta: para desenhar essa parte, trace uma parábola invertida entre x=-1 e x=1 com pico em (0,-1) e com valores -2 nas bordas x=\pm1.

Passo 4

Análise da ramificação externa |x|\ge1: f(x)=x^{2}-3.
  • Esta é uma parábola voltada para cima (coeficiente de x^{2} positivo).
  • Vértice da parábola teórica seria em x=0 com valor f(0)= -3, mas atenção: x=0 não pertence à região |x|\ge1. Portanto o mínimo desta parábola não está disponível — na nossa função consideramos apenas as partes da parábola para |x|\ge1.
  • Valores em pontos-chave:
    • x=\pm1 \Rightarrow f(\pm1)=1-3=-2.
    • x=\pm2 \Rightarrow f(\pm2)=4-3=1.
    • Zeros da função na ramificação externa: resolver x^{2}-3=0 x=\pm\sqrt{3}. Ou seja, a função cruza o eixo x em x=\pm\sqrt{3}.
  • Para desenhar: a partir dos pontos (\pm1,-2) a parábola sobe para (\pm2,1) e vai para +\infty quando |x|\to\infty.

Passo 5

Continuidade, simetria e diferenciabilidade:
  • Simetria: a função depende só de x^{2}, logo f(-x)=f(x). Portanto f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y). Isso facilita o desenho: basta desenhar para x\ge0 e refletir.
  • Continuidade em todo \mathbb{R}: verificar em x=\pm1. Usando a definição peça-a-peça: \lim_{x\to1^-} f(x) = -1^{2}-1 = -2,\qquad \lim_{x\to1^+} f(x) = 1^{2}-3 = -2,e f(1)=-2. Portanto f é contínua em x=1. O mesmo vale para x=-1. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Diferenciabilidade em x=\pm1: calcular derivadas laterais (usando as fórmulas das ramificações).
    • Derivada para |x|<1: f'(x) = -2x. Então f'\!(1^-)= -2.
    • Derivada para |x|>1: f'(x) = 2x. Então f'\!(1^+)= 2.
    • Como -2\neq 2, a derivada não existe em x=1. O mesmo acontece em x=-1 (valores simétricos com sinais trocados). Conclusão: pontos de canto (não diferenciáveis) em x=\pm1.
  • Valores extremos:
    • Mínimo global da função: \min_{x\in\mathbb{R}} f(x) = -2, atingido em x=\pm1.
    • Não existe máximo global porque f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty.
    • Há um máximo local em x=0 com f(0)=-1 (máximo relativo dentro de (-1,1)), mas não é máximo global.

Passo 6

Resumo prático para desenhar o gráfico (passo a passo no papel):
  1. Desenhe eixos coordenados. Marque pontos importantes: x=-\sqrt{3}, -2, -1, 0, 1, \sqrt{3}.
  2. Marque os pontos:
    • (0,-1),
    • (\pm1,-2),
    • (\pm2,1),
    • zeros em \left(\pm\sqrt{3},0\right).
  3. Entre -1 e 1 desenhe uma parábola voltada para baixo passando por (0,-1) e atingindo (\pm1,-2).
  4. Para x\ge1 desenhe a parábola x^{2}-3 a partir do ponto (1,-2) subindo para a direita; repita simetricamente para x\le-1.
  5. Observe que há canto em (\pm1,-2) (a curva é contínua mas muda de concavidade ali).
  6. Finalize desenhando suave, lembrando da simetria par.

Resposta

f(x)= \begin{cases} -x^{2}-1, & |x|<1,\\[4pt] x^{2}-3, & |x|\ge1, \end{cases}
Pontos e propriedades importantes:
(1) (0,-1) (pico local em |x|<1);\n
(2) (\pm1,-2) (mínimos globais e pontos de canto, contínuos mas não diferenciáveis);\n
(3) zeros em \left(\pm\sqrt{3},0\right);\n
(4) função par (simétrica em relação ao eixo y);\n
(5) f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty (sem máximo global).]

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