Construir os gráficos das funções definidas em \mathbb{R} : f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função definida em \mathbb{R}
f(x)=\left|x^{2}-1\right|-2.
Informações dadas e o que precisamos produzir:
A expressão explícita da função \left|x^{2}-1\right|-2.
O gráfico de f em todo o eixo real (pelo menos os pontos-chave e a forma das curvas).
Pontos importantes para desenhar (vértices, interseções com eixos, continuidade, simetrias).
Não vamos resolver nada ainda, apenas identificamos o objetivo e os dados acima.
Passo 2
Entendendo o valor absoluto e convertendo para uma forma que dá para desenhar:
Regra do valor absoluto: para qualquer expressão A\),
\[|A|=\begin{cases} A, & \text{se } A\ge 0,\\[4pt] -A, & \text{se } A<0. \end{cases}
Aqui A=x^{2}-1\]. Então identificamos onde \[x^{2}-1\ge0 e onde x^{2}-1<0.
x^{2}-1\ge0 \iff x^{2}\ge1 \iff |x|\ge1.
x^{2}-1<0 \iff |x|<1.
Aplicando a regra do valor absoluto obtemos a forma peça-a-peça da função (esta é a forma que vamos desenhar):
Explicação didática: transformamos |x^{2}-1|\] em \((x^{2}-1) quando x^{2}-1\ge0 (fora do intervalo [-1,1]) e em -(x^{2}-1) quando x^{2}-1<0 (dentro do intervalo (-1,1)). Depois subtraímos 2 em ambos os casos.]
Passo 3
Análise da ramificação interna |x|<1: f(x)=-x^{2}-1.
Esta é uma parábola voltada para baixo (coeficiente de x^{2} é negativo).
Vértice da parábola: para g(x)=-x^{2}-1 a fórmula padrão diz que o vértice está em x=0. Substituindo,f(0) = -0^{2}-1 = -1.Então há um ponto (0,-1) que é o máximo local desta ramificação.
Aproximando os extremos do intervalo: x\to\pm1^{-}\Rightarrow f(x)\to -1-1=-2. Em x=\pm1 a outra ramificação também dá -2 (veremos a continuidade no próximo passo).
Didática curta: para desenhar essa parte, trace uma parábola invertida entre x=-1 e x=1 com pico em (0,-1) e com valores -2 nas bordas x=\pm1.
Passo 4
Análise da ramificação externa |x|\ge1: f(x)=x^{2}-3.
Esta é uma parábola voltada para cima (coeficiente de x^{2} positivo).
Vértice da parábola teórica seria em x=0 com valor f(0)= -3, mas atenção: x=0 não pertence à região |x|\ge1. Portanto o mínimo desta parábola não está disponível — na nossa função consideramos apenas as partes da parábola para |x|\ge1.
Valores em pontos-chave:
x=\pm1 \Rightarrow f(\pm1)=1-3=-2.
x=\pm2 \Rightarrow f(\pm2)=4-3=1.
Zeros da função na ramificação externa: resolver x^{2}-3=0 dá x=\pm\sqrt{3}. Ou seja, a função cruza o eixo x em x=\pm\sqrt{3}.
Para desenhar: a partir dos pontos (\pm1,-2) a parábola sobe para (\pm2,1) e vai para +\infty quando |x|\to\infty.
Passo 5
Continuidade, simetria e diferenciabilidade:
Simetria: a função depende só de x^{2}, logo f(-x)=f(x). Portanto f é uma função par (simétrica em relação ao eixo y). Isso facilita o desenho: basta desenhar para x\ge0 e refletir.
Continuidade em todo \mathbb{R}: verificar em x=\pm1. Usando a definição peça-a-peça:\lim_{x\to1^-} f(x) = -1^{2}-1 = -2,\qquad \lim_{x\to1^+} f(x) = 1^{2}-3 = -2,e f(1)=-2. Portanto f é contínua em x=1. O mesmo vale para x=-1. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}.
Diferenciabilidade em x=\pm1: calcular derivadas laterais (usando as fórmulas das ramificações).
Derivada para |x|<1: f'(x) = -2x. Então f'\!(1^-)= -2.
Derivada para |x|>1: f'(x) = 2x. Então f'\!(1^+)= 2.
Como -2\neq 2, a derivada não existe em x=1. O mesmo acontece em x=-1 (valores simétricos com sinais trocados). Conclusão: pontos de canto (não diferenciáveis) em x=\pm1.
Valores extremos:
Mínimo global da função: \min_{x\in\mathbb{R}} f(x) = -2, atingido em x=\pm1.
Não existe máximo global porque f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty.
Há um máximo local em x=0 com f(0)=-1 (máximo relativo dentro de (-1,1)), mas não é máximo global.
Passo 6
Resumo prático para desenhar o gráfico (passo a passo no papel):
Pontos e propriedades importantes:
(1) (0,-1) (pico local em |x|<1);\n
(2) (\pm1,-2) (mínimos globais e pontos de canto, contínuos mas não diferenciáveis);\n
(3) zeros em \left(\pm\sqrt{3},0\right);\n
(4) função par (simétrica em relação ao eixo y);\n
(5) f(x)\to +\infty quando |x|\to\infty (sem máximo global).]