Construir os gráficos das funções definidas em \mathbb{R} :
f(x)=|2 x|

Passo 1

O enunciado pede para construir o gráfico da função definida em \mathbb{R}
f(x)=|2x|.
Informações dadas:
\,f está definida para todo x\in\mathbb{R}.
A expressão da função é \,f(x)=|2x|.
A tarefa é desenhar/identificar o gráfico e, implicitamente, caracterizar pontos importantes (vértice, ramos, domínio, imagem, simetrias, etc.).

Passo 2

Vamos recordar o que é valor absoluto e como trabalhar com ele (aulas rápidas e práticas).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real t\), \[|t| = \begin{cases} t, & \text{se } t\ge 0,\\[4pt] -t, & \text{se } t<0. \end{cases}
Exemplos simples para fixar a ideia: |3|=3\] e \(|-4|=4. Geometricamente, o valor absoluto mede a distância de t até 0 na reta numérica — sempre não negativo.
Propriedade útil que usaremos: para quaisquer números reais a e b,
|ab| = |a|\,|b|.
Aplicando essa propriedade, |2x| = |2|\,|x| = 2|x|. Isto já dá uma ideia: o gráfico de |2x| é o gráfico de |x| “esticado” verticalmente por fator 2.]

Passo 3

Transformação em forma por partes (essencial para desenhar no caderno e na prova).
Como a inequação 2x\ge 0\) é equivalente a \(x\ge 0\), podemos escrever: \[|2x| = \begin{cases} 2x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -2x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Ou seja, a função é piecewise linear: é a reta y=2x\] quando \(x\ge 0 e a reta y=-2x quando x<0.]

Passo 4

Pontos e forma do gráfico (vamos calcular alguns pontos para desenhar com segurança).
Calculemos valores simples para plotar:
\begin{aligned} f(0)&=|2\cdot 0|=0,\\[4pt] f(1)&=|2\cdot 1|=2,\\[4pt] f(2)&=|2\cdot 2|=4,\\[4pt] f(-1)&=|2\cdot(-1)|=2,\\[4pt] f(-2)&=|2\cdot(-2)|=4. \end{aligned}
Observação prática: os pontos (1,2), (2,4), (-1,2), (-2,4) e (0,0) já definem claramente a forma em V do gráfico. O ramo direito passa por (0,0) e tem inclinação 2; o ramo esquerdo também passa por (0,0) e tem inclinação -2.]

Passo 5

Instruções passo a passo para desenhar o gráfico em prova (rápido e seguro).
  1. Trace os eixos x e y e marque o ponto (0,0).
  2. Sobre o eixo x, escolha uma escala (por exemplo, 1 unidade = 1 quadradinho). Use a mesma escala no eixo y.
  3. Marque os pontos calculados (1,2) e (2,4) no lado direito; ligue-os por uma reta que passe por (0,0). Essa reta é a equação y=2x para x\ge 0.
  4. Marque os pontos (-1,2) e (-2,4) no lado esquerdo; ligue-os por uma reta que passe por (0,0). Essa reta é a equação y=-2x para x<0.
  5. Não coloque uma curva suave na junção: a forma é um “V” com vértice em (0,0).

Passo 6

Propriedades importantes do gráfico (úteis para interpretar e justificar respostas em prova).
  • Vértice: (0,0), porque f(0)=0 e é o menor valor que a função atinge.
  • Domínio: \mathbb{R} (já dado).
  • Imagem (contradomínio efetivo): [0,\infty), pois |2x|\ge 0 para todo x e todos os valores não negativos são alcançados.
  • Simetria: a função é par, isto é, f(-x)=f(x). Verificação:
f(-x)=|2(-x)|=|-2x|=2|x|=|2x|=f(x).
  • Continuidade e diferenciabilidade: f é contínua em todo \mathbb{R}, mas não é diferenciável em x=0 (há um canto; as derivadas laterais são -2 à esquerda e 2 à direita).
  • Relação com |x|: f(x)=2|x| — é o gráfico de |x| esticado verticalmente por fator 2.

Resposta

f(x)=|2x|=\begin{cases} 2x, & x\ge 0,\\[4pt] -2x, & x<0, \end{cases}
Gráfico: um “V” com vértice em (0,0), ramo direito a seguir y=2x (inclinação 2), ramo esquerdo a seguir y=-2x (inclinação -2). Domínio: \mathbb{R}. Imagem: [0,\infty). Simetria: função par ( f(-x)=f(x)).]

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