Construir os gráficos das funções definidas em
:
Passo 1
O enunciado pede para construir o gráfico da função definida em
Informações dadas:
está definida para todo
.
A expressão da função é .
A tarefa é desenhar/identificar o gráfico e, implicitamente, caracterizar pontos importantes (vértice, ramos, domínio, imagem, simetrias, etc.).
A expressão da função é
A tarefa é desenhar/identificar o gráfico e, implicitamente, caracterizar pontos importantes (vértice, ramos, domínio, imagem, simetrias, etc.).
Passo 2
Vamos recordar o que é valor absoluto e como trabalhar com ele (aulas rápidas e práticas).
Definição do valor absoluto: para qualquer número real
Exemplos simples para fixar a ideia:
. Geometricamente, o valor absoluto mede a distância de
até
na reta numérica — sempre não negativo.
Propriedade útil que usaremos: para quaisquer números reais
e
,
Aplicando essa propriedade,
. Isto já dá uma ideia: o gráfico de
é o gráfico de
“esticado” verticalmente por fator
.]
Passo 3
Transformação em forma por partes (essencial para desenhar no caderno e na prova).
Como a inequação
Ou seja, a função é piecewise linear: é a reta
e a reta
quando
.]
Passo 4
Pontos e forma do gráfico (vamos calcular alguns pontos para desenhar com segurança).
Calculemos valores simples para plotar:
Calculemos valores simples para plotar:
Observação prática: os pontos
,
,
,
e
já definem claramente a forma em V do gráfico. O ramo direito passa por
e tem inclinação
; o ramo esquerdo também passa por
e tem inclinação
.]
Passo 5
Instruções passo a passo para desenhar o gráfico em prova (rápido e seguro).
- Trace os eixos
e e marque o ponto . - Sobre o eixo
, escolha uma escala (por exemplo, 1 unidade = 1 quadradinho). Use a mesma escala no eixo . - Marque os pontos calculados
e no lado direito; ligue-os por uma reta que passe por . Essa reta é a equação para . - Marque os pontos
e no lado esquerdo; ligue-os por uma reta que passe por . Essa reta é a equação para . - Não coloque uma curva suave na junção: a forma é um “V” com vértice em
.
Passo 6
Propriedades importantes do gráfico (úteis para interpretar e justificar respostas em prova).
- Vértice:
, porque e é o menor valor que a função atinge. - Domínio:
(já dado). - Imagem (contradomínio efetivo):
, pois para todo e todos os valores não negativos são alcançados. - Simetria: a função é par, isto é,
. Verificação:
- Continuidade e diferenciabilidade:
é contínua em todo , mas não é diferenciável em (há um canto; as derivadas laterais são à esquerda e à direita). - Relação com
: — é o gráfico de esticado verticalmente por fator .
Resposta
Gráfico: um “V” com vértice em
, ramo direito a seguir
(inclinação
), ramo esquerdo a seguir
(inclinação
). Domínio:
. Imagem:
. Simetria: função par (
).]