EDO:
, com condição inicial
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
com condição inicial
.
A pergunta implícita é: encontrar a função que satisfaz essa EDO e a condição inicial.
A pergunta implícita é: encontrar a função
Passo 2
Colocamos a EDO na forma linear padrão
. Reescrevendo a equação dada:
Aqui definimos explicitamente
e
. Essa é uma EDO linear de primeira ordem — não se assuste com o nome, é só isso: tem a derivada de
e
multiplicada por uma função de
.
Passo 3
Vamos usar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função
tal que o lado esquerdo vire a derivada de
. A fórmula do fator integrante é
Explico por que isso funciona: se
, então
ou seja, multiplicando a equação original por
o lado esquerdo passa a ser
, muito mais fácil de integrar.
Passo 4
Calculemos
com
:
O termo constante dentro do log não importa aqui (aparece como multiplicativo no fator integrante e se anularia depois), então podemos escolher
. Note que
para
, então tudo ok para nosso problema que começa em
.
Passo 5
Multiplicamos a EDO por
:
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada de
:
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
implica
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Usamos a condição inicial
para encontrar
. Substituindo
:
logo
.
Passo 8
Dividindo por
obtemos a solução:
Podemos fatorar para ficar mais elegante:
Passo 9
Verificação rápida (intuitiva): multiplicando a solução por
dá
; derivando isso em
obtém-se
, que é exatamente
, então a identidade diferencial depois de multiplicar pelo fator integrante fica satisfeita. A condição inicial também é satisfeita, pois em
a expressão dá
. Bom sinal de que está correto!