EDO: \frac{d Q}{d t}=3-\frac{Q}{400+t}, com condição inicial Q(0)=0.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
\frac{dQ}{dt}=3-\frac{Q}{400+t},
com condição inicial Q(0)=0.
A pergunta implícita é: encontrar a função Q(t) que satisfaz essa EDO e a condição inicial.

Passo 2

Colocamos a EDO na forma linear padrão \,Q'(t)+p(t)Q(t)=g(t)\,. Reescrevendo a equação dada:
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{400+t}\,Q=3.
Aqui definimos explicitamente p(t)=\frac{1}{400+t} e g(t)=3. Essa é uma EDO linear de primeira ordem — não se assuste com o nome, é só isso: tem a derivada de Q e Q multiplicada por uma função de t.

Passo 3

Vamos usar o método do fator integrante. A ideia é multiplicar a equação por uma função \mu(t) tal que o lado esquerdo vire a derivada de \mu(t)Q(t). A fórmula do fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explico por que isso funciona: se \mu'=\mu p, então
\frac{d}{dt}[\mu Q]=\mu Q'+\mu'Q=\mu(Q'+pQ),
ou seja, multiplicando a equação original por \mu o lado esquerdo passa a ser \frac{d}{dt}[\mu Q], muito mais fácil de integrar.

Passo 4

Calculemos \mu(t) com p(t)=\frac{1}{400+t}:
\mu(t)=\exp\!\left(\int \frac{1}{400+t}\,dt\right) =\exp\!\big(\ln(400+t)\big)=400+t.
O termo constante dentro do log não importa aqui (aparece como multiplicativo no fator integrante e se anularia depois), então podemos escolher \mu(t)=400+t. Note que \mu(t)>0 para t>-400, então tudo ok para nosso problema que começa em t=0.

Passo 5

Multiplicamos a EDO por \mu(t)=400+t:
(400+t)\frac{dQ}{dt} + Q = 3(400+t).
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada de (400+t)Q:
\frac{d}{dt}\big[(400+t)Q\big]=(400+t)\frac{dQ}{dt}+Q.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\big[(400+t)Q\big]=3(400+t)
implica
(400+t)Q=\int 3(400+t)\,dt = 3\left(400t+\frac{t^2}{2}\right)+C=1200t+\frac{3}{2}t^2+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Usamos a condição inicial Q(0)=0 para encontrar C. Substituindo t=0:
(400+0)Q(0)=400\cdot 0 = 0 = 1200\cdot 0 + \frac{3}{2}\cdot 0^2 + C,
logo C=0.

Passo 8

Dividindo por 400+t obtemos a solução:
Q(t)=\frac{1200t+\tfrac{3}{2}t^2}{400+t}.
Podemos fatorar para ficar mais elegante:
Q(t)=\frac{\tfrac{3}{2}\,t(800+t)}{400+t}=\frac{3t(800+t)}{2(400+t)}.

Passo 9

Verificação rápida (intuitiva): multiplicando a solução por 400+t 1200t+\tfrac{3}{2}t^2; derivando isso em t obtém-se 1200+3t, que é exatamente 3(400+t), então a identidade diferencial depois de multiplicar pelo fator integrante fica satisfeita. A condição inicial também é satisfeita, pois em t=0 a expressão dá Q(0)=0. Bom sinal de que está correto!

Resposta

\displaystyle Q(t)=\frac{3t(800+t)}{2(400+t)}

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