Construir os gráficos das funções definidas em \mathbb{R} :
f(x)=\left|x^{2}+4 x\right|

Passo 1

O enunciado pede: construir o gráfico da função definida em \mathbb{R}
f(x)=\left|x^{2}+4x\right|.
Informações dadas:
\;f está definida para todo x\in\mathbb{R}.
A expressão interna do valor absoluto é a função quadrática \;x^{2}+4x.
A tarefa é desenhar (construir) o gráfico de f, ou seja, representar geometricamente y=f(x) no plano.

Passo 2

Encontrar as raízes da expressão interna (onde x^{2}+4x=0), porque nesses pontos f(x)=0 e porque a posição relativa dessa parábola em relação ao eixo x determina onde o valor absoluto vai refletir.
Resolvemos
x^{2}+4x= x(x+4)=0,
logo as raízes são \;x=0 e \;x=-4.
Portanto f(x)=0 em \;x=-4 e \;x=0. Esses pontos são os pontos de interseção com o eixo x.

Passo 3

Estudar a forma da parábola \;g(x)=x^{2}+4x (a função dentro do módulo) para saber onde ela é positiva ou negativa.
Completar o quadrado:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-4.
Com isso vemos que a parábola tem vértice em x=-2 e valor no vértice
g(-2)=( -2 +2)^{2}-4=-4.
Ou seja, o vértice é o ponto ( -2,-4). Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 1), a parábola abre para cima. Portanto g(x) é negativa exatamente entre as raízes, isto é para -4<x<0, e é positiva para x<-4 e para x>0.

Passo 4

Usando o sinal de g(x)=x^{2}+4x escrevemos f como função definida por partes — isto é o passo-chave para desenhar o gráfico:
quando g(x)\ge 0 (isto é x\le -4 ou x\ge 0), temos
f(x)=x^{2}+4x.
quando g(x)<0 (isto é -4<x<0), o módulo inverte o sinal:
f(x)=-(x^{2}+4x)=-x^{2}-4x.
Portanto a forma em partes é
f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x, & x\le -4,\\[4pt] -\,x^{2}-4x, & -4<x<0,\\[4pt] x^{2}+4x, & x\ge 0. \end{cases}]

Passo 5

Interpretar geometricamente: desenhe primeiro a parábola original y=g(x)=x^{2}+4x e depois aplique o valor absoluto.
  • A parábola y=g(x) tem vértice em (-2,-4), zeros em (-4,0) e (0,0), e abre para cima.
  • O valor absoluto transforma qualquer parte dessa parábola que esteja abaixo do eixo x (ou seja, a porção entre -4 e 0) refletindo-a para cima (simetria vertical em relação ao eixo x). Em termos práticos: a porção da parábola entre -4 e 0 com valores negativos passa a ter valor positivo com a mesma distância ao eixo x.

Passo 6

Descrever as três “ramificações” do gráfico de f:
  • Para x\le -4: o gráfico é a mesma parábola y=x^{2}+4x (ramo à esquerda, abrindo para cima).
  • Para -4<x<0: o gráfico é a parábola invertida y=-x^{2}-4x. Note que isso é um arco que abre para baixo com vértice em (-2,4) (pois ao inverter o sinal o ponto (-2,-4) sobe para (-2,4)).
  • Para x\ge 0: o gráfico é novamente y=x^{2}+4x (ramo à direita, abrindo para cima).
    Os três ramos se unem continuamente em x=-4 e em x=0, onde f(-4)=f(0)=0.

Passo 7

Calcular pontos-chave para desenhar com precisão à mão (sugestão de pontos):
  • Já temos (-4,0), (0,0).
  • Vértices: original (-2,-4) (antes do módulo), depois do módulo esse ponto aparece refletido como (-2,4) no trecho central; portanto no gráfico de f o ponto (-2,4) é o máximo local do arco central.
  • Alguns pontos extras:
f(-3)=|(-3)^{2}+4(-3)|=|9-12|=3 \quad\text{-> }(-3,3),
f(-1)=|(-1)^{2}+4(-1)|=|1-4|=3 \quad\text{-> }(-1,3),
f(1)=|1^{2}+4\cdot1|=5 \quad\text{-> }(1,5),
f(-5)=|25-20|=5 \quad\text{-> }(-5,5).
Use esses pontos para traçar os ramos: à esquerda e à direita os ramos crescentes para cima, no centro um arco com vértice (-2,4).

Passo 8

Observações sobre regularidade (útil na prova):
  • f é contínua em todo \mathbb{R} (valor absoluto preserva continuidade).
  • f não é diferenciável em x=-4 e x=0 porque há uma mudança de sinal da expressão interna, gerando uma “quebra” nas derivadas. Podemos ver as derivadas laterais:
    para x>0 (ramo direito) \;f'(x)=2x+4, então \;f'_{+}(0)=4.
    para -4<x<0 (ramo central) \;f'(x)=-2x-4, então \;f'_{-}(0)=-4.
    Logo há um canto em x=0 (derivadas laterais -4 e 4). Mesmo raciocínio em x=-4.
  • Para x\to\pm\infty, f(x)\sim x^{2}+4x cresce quadráticamente.

Passo 9

Instrução prática de desenho (passo a passo para fazer à mão ou em folha milimetrada):
  1. Trace e rotule os eixos x e y.
  2. Marque os pontos (-4,0) e (0,0).
  3. Marque o vértice central (-2,4) (é o máximo local de f entre as raízes).
  4. Marque alguns pontos adicionais calculados no Passo 7 para guiar as curvas: (-3,3),(-1,3),(-5,5),(1,5).
  5. Desenhe o arco invertido (concavidade para baixo) passando por (-4,0), (-3,3), (-2,4), (-1,3), (0,0).
  6. Para x<-4 e x>0 desenhe as parcelas da parábola y=x^{2}+4x que passam por (-5,5) e (1,5) respectivamente, cuidando para que se unam continuamente nos pontos (-4,0) e (0,0).
  7. Verifique continuidade e formato: curva não-negativa, com “V/curva” nos pontos -4 e 0.

Resposta

f(x)= \begin{cases} x^{2}+4x, & x\le -4,\\[4pt] -\,x^{2}-4x, & -4<x<0,\\[4pt] x^{2}+4x, & x\ge 0, \end{cases}
Gráfico: ramo da parábola y=x^{2}+4x para x\le -4, arco invertido com vértice em (-2,4) para -4<x<0, e ramo da parábola y=x^{2}+4x para x\ge 0; interceptos em (-4,0) e (0,0).]

Exercícios relacionados