Determine o domínio, a imagem e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
e pede: (i) o domínio, (ii) a imagem (conjunto de valores assumidos por
) e (iii) um esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas: as duas expressões quadráticas e os intervalos onde cada uma vale ( e
).]
Informações relevantes fornecidas: as duas expressões quadráticas e os intervalos onde cada uma vale (
Passo 2
Vamos analisar separadamente cada ramo (cada expressão quadrática). Primeiro ramo (direito): para
,
Segundo ramo (esquerdo): para
,
Cada uma é uma parábola (polinômio de grau 2). Parâmetros importantes para uma parábola
: o coeficiente
(determina se abre para cima ou para baixo), a coordenada do vértice
, e o valor do vértice
. Vou explicar e aplicar isso.
Passo 3
Regra do vértice (mini-aula): para uma parábola
, o valor de
no vértice é
. Isso vem de completar o quadrado ou da fórmula da derivada — aqui só use a fórmula. O valor mínimo (se
) é
.
Aplicando em
: temos
,
. Logo
O valor no vértice:
Portanto
tem vértice em
e como
a parábola abre para cima (tem mínimo
).
Passo 4
Também é útil fatorar para achar as raízes (intersecções com o eixo
). Para
:
logo as raízes são
e
(ambas satisfazem
, então aparecem no gráfico do ramo direito). O valor em
é
ou seja o ponto
pertence ao ramo direito (porque
).
Passo 5
Agora o segundo ramo
. Aqui
,
. Usando a fórmula do vértice:
Valor no vértice:
Então
tem vértice em
e, como
, também abre para cima com mínimo
.
Passo 6
Fatorando
para encontrar raízes:
logo raízes
e
(ambas <0, portanto aparecem no ramo esquerdo). O limite quando
é
Observe que
não está definida em
por ser só para
, mas o valor da expressão em
é
e a função à esquerda aproxima-se de
.
Passo 7
Verificação de continuidade em
: o ramo direito em
dá
(e
porque em
usamos o caso
). O limite pela esquerda é
. Como
, a função é contínua em
e o ponto no gráfico é
único (não há ponto aberto aí).
Passo 8
Determinação do domínio: a função está definida por uma expressão quadrática para todo
e por outra para todo
. Juntando os dois intervalos, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
Passo 9
Determinação da imagem (intervalo de valores de
). Observações importantes:
- Cada ramo é uma parábola que abre para cima, então cada ramo tem um mínimo.
- Valores mínimos:
tem mínimo em (que pertence ao domínio do ramo direito) e tem mínimo em (que pertence ao domínio do ramo esquerdo). - Ambas as parábolas tendem a
quando .
Portanto o valor mínimo global da função é
(atingido tanto em
quanto em
), e não há teto superior. Logo a imagem é
Passo 10
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático e pontos-chave — faça isso na folha):
- Desenhe os eixos
e . - Marque os vértices:
e . - Marque as raízes: para
as raízes são e ; para as raízes são e . - Marque o ponto comum em
: (a função é contínua aí). - Desenhe duas parábolas que abrem para cima:
- À esquerda (
) uma parábola com vértice em passando por , e aproximando-se de quando chega perto de pela esquerda. - À direita (
) uma parábola com vértice em passando por , e passando por no extremo esquerdo do ramo.
- À esquerda (
- Certifique-se de que ambas as curvas vão para
conforme .
Dica visual: o gráfico parece duas “tigelas” idênticas (mesma forma) deslocadas horizontalmente, encontrando-se no ponto.
Resposta
Esboço: para