Determine o domínio, a imagem e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4 x+3 & \text { se } x \geq 0 \\\ x^{2}+4 x+3 & \text { se } x<0\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}x^{2}-4x+3 & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] x^{2}+4x+3 & \text{se } x<0,\end{cases}
e pede: (i) o domínio, (ii) a imagem (conjunto de valores assumidos por f) e (iii) um esboço do gráfico.
Informações relevantes fornecidas: as duas expressões quadráticas e os intervalos onde cada uma vale ( x\ge 0 e x<0).]

Passo 2

Vamos analisar separadamente cada ramo (cada expressão quadrática). Primeiro ramo (direito): para x\ge 0,
f_1(x)=x^{2}-4x+3.
Segundo ramo (esquerdo): para x<0,
f_2(x)=x^{2}+4x+3.
Cada uma é uma parábola (polinômio de grau 2). Parâmetros importantes para uma parábola ax^{2}+bx+c: o coeficiente a (determina se abre para cima ou para baixo), a coordenada do vértice x_v=-\dfrac{b}{2a}, e o valor do vértice f(x_v). Vou explicar e aplicar isso.

Passo 3

Regra do vértice (mini-aula): para uma parábola g(x)=ax^{2}+bx+c, o valor de x no vértice é \displaystyle x_v=-\dfrac{b}{2a}. Isso vem de completar o quadrado ou da fórmula da derivada — aqui só use a fórmula. O valor mínimo (se a>0) é g(x_v).
Aplicando em f_1: temos a=1, b=-4. Logo
x_{v1}=-\dfrac{-4}{2\cdot 1}= \dfrac{4}{2}=2.
O valor no vértice:
f_1(2)=2^{2}-4\cdot 2+3=4-8+3=-1.
Portanto f_1 tem vértice em (2,-1) e como a=1>0 a parábola abre para cima (tem mínimo -1).

Passo 4

Também é útil fatorar para achar as raízes (intersecções com o eixo x). Para f_1:
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3),
logo as raízes são x=1 e x=3 (ambas satisfazem x\ge 0, então aparecem no gráfico do ramo direito). O valor em x=0 é
f_1(0)=0-0+3=3,
ou seja o ponto (0,3) pertence ao ramo direito (porque 0\ge0).

Passo 5

Agora o segundo ramo f_2(x)=x^{2}+4x+3. Aqui a=1, b=4. Usando a fórmula do vértice:
x_{v2}=-\dfrac{4}{2\cdot 1}=-2.
Valor no vértice:
f_2(-2)=(-2)^{2}+4(-2)+3=4-8+3=-1.
Então f_2 tem vértice em (-2,-1) e, como a=1>0, também abre para cima com mínimo -1.

Passo 6

Fatorando f_2 para encontrar raízes:
x^{2}+4x+3=(x+1)(x+3),
logo raízes x=-1 e x=-3 (ambas <0, portanto aparecem no ramo esquerdo). O limite quando x\to 0^{-} é
\lim_{x\to 0^-} f_2(x)=f_2(0)=0+0+3=3.
Observe que f_2 não está definida em x=0 por ser só para x<0, mas o valor da expressão em 0 é 3 e a função à esquerda aproxima-se de 3.

Passo 7

Verificação de continuidade em x=0: o ramo direito em 0 f_1(0)=3 (e f(0)=f_1(0) porque em x=0 usamos o caso x\ge0). O limite pela esquerda é \lim_{x\to 0^-}f_2(x)=3. Como \lim_{x\to 0^-}f(x)=\lim_{x\to 0^+}f(x)=f(0)=3, a função é contínua em 0 e o ponto no gráfico é (0,3) único (não há ponto aberto aí).

Passo 8

Determinação do domínio: a função está definida por uma expressão quadrática para todo x\ge0 e por outra para todo x<0. Juntando os dois intervalos, o domínio é todo o conjunto dos números reais. Em notação:
\text{Domínio}=\mathbb{R}=(-\infty,\infty).í

Passo 9

Determinação da imagem (intervalo de valores de f). Observações importantes:
  • Cada ramo é uma parábola que abre para cima, então cada ramo tem um mínimo.
  • Valores mínimos: f_1 tem mínimo -1 em x=2 (que pertence ao domínio do ramo direito) e f_2 tem mínimo -1 em x=-2 (que pertence ao domínio do ramo esquerdo).
  • Ambas as parábolas tendem a +\infty quando |x|\to\infty.
Portanto o valor mínimo global da função é -1 (atingido tanto em x=-2 quanto em x=2), e não há teto superior. Logo a imagem é
\text{Imagem}=[-1,\infty).

Passo 10

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático e pontos-chave — faça isso na folha):
  1. Desenhe os eixos x e y.
  2. Marque os vértices: (-2,-1) e (2,-1).
  3. Marque as raízes: para x<0 as raízes são (-3,0) e (-1,0); para x\ge0 as raízes são (1,0) e (3,0).
  4. Marque o ponto comum em x=0: (0,3) (a função é contínua aí).
  5. Desenhe duas parábolas que abrem para cima:
    • À esquerda ( x<0) uma parábola com vértice em (-2,-1) passando por (-3,0), (-1,0) e aproximando-se de (0,3) quando chega perto de 0 pela esquerda.
    • À direita ( x\ge0) uma parábola com vértice em (2,-1) passando por (1,0), (3,0) e passando por (0,3) no extremo esquerdo do ramo.
  6. Certifique-se de que ambas as curvas vão para +\infty conforme x\to\pm\infty.
    Dica visual: o gráfico parece duas “tigelas” idênticas (mesma forma) deslocadas horizontalmente, encontrando-se no ponto (0,3).

Resposta

\text{Domínio}=\mathbb{R}í
\text{Imagem}=[-1,\infty)
Esboço: para x<0 a parábola x^{2}+4x+3 com vértice em (-2,-1) e raízes (-3,0),(-1,0); para x\ge0 a parábola x^{2}-4x+3 com vértice em (2,-1) e raízes (1,0),(3,0). Ambas abrem para cima e se encontram continuamente em (0,3).

Exercícios relacionados