Determine o domínio, a imagem e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função por partes
As perguntas que precisamos responder são:
- Determinar o domínio de
. - Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de
). - Fazer o esboço do gráfico de
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
Não há outras partes nem definição para
.]
Passo 2
O que é domínio e como achar:
- Definição: o domínio é o conjunto de todas as abscissas
para as quais a função está definida. - Método prático: como a função está definida por partes, pegamos todos os intervalos de
onde cada pedaço vale e fazemos a união desses intervalos. Vou aplicar isso explicitamente no próximo passo.
Passo 3
Determinação do domínio:
- A primeira parte vale para
, que corresponde ao intervalo . - A segunda parte vale para
, que corresponde ao intervalo .
Fazendo a união desses dois intervalos:
Observação importante: o ponto
está incluído porque a segunda parte define
. Portanto o domínio é
.
Passo 4
O que é imagem (alcance) e como achar:
- Definição: imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de todos os valores
que a função realmente assume, isto é . - Método prático: calcular a imagem de cada parte da função e depois tomar a união dessas imagens.
Passo 5
Imagem da primeira parte (
,
):
- Aqui
é constante igual a para todo . Então a imagem gerada por essa parte é o conjunto singleton
Passo 6
Imagem da segunda parte (
,
):
- A expressão
é uma reta com inclinação positiva . Para um intervalo de ela transforma o intervalo por uma soma de . - Calcule os extremos: quando
temos . Quando temos . Como a função é crescente e contínua, os valores assumidos para formam o intervalo fechado
Passo 7
União das imagens das partes:
- A imagem total é
. Como , a união é simplesmente
Portanto a imagem de
é
.
Passo 8
Observações sobre continuidade e pontos-chave (úteis para desenhar o gráfico na prova):
- Para
: o gráfico é a reta horizontal estendida para a esquerda até . Como a definição é apenas para , no ponto esta parte tem uma bolinha aberta (não inclui ). - Para
: o gráfico é o segmento da reta que vai de até , incluindo ambas as extremidades (pontos fechados), pois e estão no intervalo fechado. - Como a segunda parte dá
, o ponto está preenchido — então a bolinha aberta da parte esquerda é “coberta” pelo ponto incluído da segunda parte. Assim é contínua em . Em temos o ponto incluído e para a função não está definida.
Passo 9
Como esboçar o gráfico passo a passo (o que desenhar no caderno):
- Desenhe eixos
e . Marque os pontos e , e , . - Para
: trace a linha horizontal para a esquerda até . No ponto dessa linha deixe uma bolinha aberta. - Para
: desenhe o segmento reto ligando a . Pinte os pontos e (pontos fechados). - Verifique que em
aparece apenas um ponto preenchido (proveniente da segunda parte), então não fica ambiguidade. Não desenhe nada para .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Esboço: linha horizontal para
(bolinha aberta em
nessa parte) e segmento de reta
para
ligando
a
com ambos os pontos incluídos (no total o ponto
aparece preenchido).
Imagem:
Esboço: linha horizontal