Determine o domínio, a imagem e faça o esboço do gráfico das seguintes funções:
f(x)= \begin{cases}1 & \text { para } x<0 \\\ x+1 & \text { para } 0 \leq x \leq 2\end{cases}

Passo 1

O enunciado dá a função por partes
f(x)= \begin{cases}1 & \text{para } x<0,\\[4pt] x+1 & \text{para } 0\le x\le 2.\end{cases}
As perguntas que precisamos responder são:
  1. Determinar o domínio de f.
  2. Determinar a imagem (conjunto de valores possíveis de f(x)).
  3. Fazer o esboço do gráfico de f.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\text{primeira parte: } f(x)=1 \text{ válida para } x<0,á
\text{segunda parte: } f(x)=x+1 \text{ válida para } 0\le x\le 2.á
Não há outras partes nem definição para x>2.]

Passo 2

O que é domínio e como achar:
  • Definição: o domínio é o conjunto de todas as abscissas x para as quais a função está definida.
  • Método prático: como a função está definida por partes, pegamos todos os intervalos de x onde cada pedaço vale e fazemos a união desses intervalos. Vou aplicar isso explicitamente no próximo passo.

Passo 3

Determinação do domínio:
  • A primeira parte vale para \;x<0, que corresponde ao intervalo (-\infty,0).
  • A segunda parte vale para \;0\le x\le 2, que corresponde ao intervalo [0,2].
    Fazendo a união desses dois intervalos:
(-\infty,0)\cup[0,2]=(-\infty,2].
Observação importante: o ponto x=0 está incluído porque a segunda parte define \,f(0)=0+1=1. Portanto o domínio é (-\infty,2].

Passo 4

O que é imagem (alcance) e como achar:
  • Definição: imagem (ou contradomínio efetivo) é o conjunto de todos os valores y que a função realmente assume, isto é \{\,y\mid y=f(x)\text{ para algum }x\text{ no domínio}\,\}í.
  • Método prático: calcular a imagem de cada parte da função e depois tomar a união dessas imagens.

Passo 5

Imagem da primeira parte ( x<0, f(x)=1):
  • Aqui f é constante igual a 1 para todo x<0. Então a imagem gerada por essa parte é o conjunto singleton
\{1\}.

Passo 6

Imagem da segunda parte ( 0\le x\le 2, f(x)=x+1):
  • A expressão y=x+1 é uma reta com inclinação positiva 1. Para um intervalo de x ela transforma o intervalo por uma soma de 1.
  • Calcule os extremos: quando x=0 temos y=0+1=1. Quando x=2 temos y=2+1=3. Como a função x\mapsto x+1 é crescente e contínua, os valores assumidos para 0\le x\le 2 formam o intervalo fechado
[1,3].

Passo 7

União das imagens das partes:
  • A imagem total é \{1\}\cup[1,3]. Como \{1\}\subset[1,3], a união é simplesmente
[1,3].
Portanto a imagem de f é [1,3].

Passo 8

Observações sobre continuidade e pontos-chave (úteis para desenhar o gráfico na prova):
  • Para x<0: o gráfico é a reta horizontal y=1 estendida para a esquerda até -\infty. Como a definição é apenas para x<0, no ponto (0,1) esta parte tem uma bolinha aberta (não inclui x=0).
  • Para 0\le x\le 2: o gráfico é o segmento da reta y=x+1 que vai de (0,1) até (2,3), incluindo ambas as extremidades (pontos fechados), pois 0 e 2 estão no intervalo fechado.
  • Como a segunda parte dá f(0)=1, o ponto (0,1) está preenchido — então a bolinha aberta da parte esquerda é “coberta” pelo ponto incluído da segunda parte. Assim f é contínua em x=0. Em x=2 temos o ponto (2,3) incluído e para x>2 a função não está definida.

Passo 9

Como esboçar o gráfico passo a passo (o que desenhar no caderno):
  1. Desenhe eixos x e y. Marque os pontos x=0 e x=2, e y=1, y=3.
  2. Para x<0: trace a linha horizontal y=1 para a esquerda até -\infty. No ponto x=0 dessa linha deixe uma bolinha aberta.
  3. Para 0\le x\le 2: desenhe o segmento reto ligando (0,1) a (2,3). Pinte os pontos (0,1) e (2,3) (pontos fechados).
  4. Verifique que em (0,1) aparece apenas um ponto preenchido (proveniente da segunda parte), então não fica ambiguidade. Não desenhe nada para x>2.

Resposta

Domínio: (-\infty,2]
Imagem: [1,3]
Esboço: linha horizontal y=1 para x<0 (bolinha aberta em (0,1) nessa parte) e segmento de reta y=x+1 para 0\le x\le 2 ligando (0,1) a (2,3) com ambos os pontos incluídos (no total o ponto (0,1) aparece preenchido).

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