Construir os gráficos das funções que se indicam abaixo, determinando o campo de existência de cada função, os pontos de descontinuidade, os pontos extremos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão de seus gráficos, a direção da concavidade e da assíntota dos gráficos:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de construir o gráfico da função
. A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, e entender a concavidade do gráfico. Também vamos verificar o domínio da função e se tem alguma descontinuidade ou assíntotas. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida, ou seja, para quais valores de
a função
existe. Como essa é uma função polinomial (soma de potências de
com coeficientes), ela está definida para todos os números reais. Então, o domínio é:
Passo 3
Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Como já vimos que o domínio é todos os reais, não há pontos de descontinuidade nessa função.
Passo 4
Para achar os pontos máximos e mínimos da função, vamos usar a derivada primeira. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde a derivada é zero, temos possíveis extremos (picos ou vales).
Primeiro, calculamos a derivada de
:
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os candidatos a extremos:
Então, temos dois pontos candidatos:
e
.
Passo 5
Vamos analisar o sinal da derivada
nos intervalos determinados pelos pontos críticos
e
.
- Para
:
Seja
:
Então, a função está crescente nesse intervalo.
- Para
:
Seja:
Então, a função está decrescente nesse intervalo.
- Para
:
Seja:
Então, a função está crescente nesse intervalo.
Passo 6
Para saber se os pontos
e
são máximos ou mínimos, observamos a mudança no sinal da derivada:
-
Em
:
A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local. -
Em
:
A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Passo 7
Vamos encontrar as coordenadas
para
e
:
- Para
:
Então, o ponto é
.
- Para
:
Então, o ponto é
.
Passo 8
Para achar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
Agora, igualamos a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
Então, temos um ponto candidato em
.
Passo 9
Vamos analisar o sinal da segunda derivada
nos intervalos determinados por
:
- Para
:
Seja:
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
- Para
:
Seja:
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Como a concavidade muda em
, temos um ponto de inflexão em
.
Calculando o valor de
em
:
Então, o ponto de inflexão é
.
Passo 10
Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais como
:
- Assíntotas Verticais: Não existem, pois polinômios são definidos para todo
. - Assíntotas Horizontais: Também não existem, pois o grau do numerador é maior que o do denominador (na verdade, não há denominador aqui).
Então, a função não possui assíntotas.
Resposta
O gráfico da função
possui domínio em todos os números reais, sem pontos de descontinuidade ou assíntotas. Apresenta um máximo local em
e um mínimo local em
. A função é crescente nos intervalos
e
, e decrescente no intervalo
. Há um ponto de inflexão em
, onde a concavidade muda de para baixo para para cima.