Construir os gráficos das funções que se indicam abaixo, determinando o campo de existência de cada função, os pontos de descontinuidade, os pontos extremos, os intervalos de crescimento e decrescimento, os pontos de inflexão de seus gráficos, a direção da concavidade e da assíntota dos gráficos:
y=x^3-3 x^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de construir o gráfico da função y = x^3 - 3x^2 . A gente vai precisar usar conceitos de cálculo como derivadas para encontrar extremos, intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de inflexão, e entender a concavidade do gráfico. Também vamos verificar o domínio da função e se tem alguma descontinuidade ou assíntotas. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a função está definida, ou seja, para quais valores de x a função y = x^3 - 3x^2 existe. Como essa é uma função polinomial (soma de potências de x com coeficientes), ela está definida para todos os números reais. Então, o domínio é:
Domínio: R í

Passo 3

Funções polinomiais são contínuas em todo o seu domínio. Como já vimos que o domínio é todos os reais, não há pontos de descontinuidade nessa função.
Pontos de Descontinuidade: Nenhum

Passo 4

Para achar os pontos máximos e mínimos da função, vamos usar a derivada primeira. A derivada nos dá a inclinação da função em cada ponto, e onde a derivada é zero, temos possíveis extremos (picos ou vales).
Primeiro, calculamos a derivada de y :
y' = dydx = 3x^2 - 6x
Agora, igualamos a derivada a zero para encontrar os candidatos a extremos:
3x^2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
x = 0 ou x = 2
Então, temos dois pontos candidatos: x = 0 e x = 2 .

Passo 5

Vamos analisar o sinal da derivada y' nos intervalos determinados pelos pontos críticos x = 0 e x = 2 .
  1. Para x < 0 :
y' = 3x^2 - 6x
Seja x = -1 :
y' = 3(-1)^2 - 6(-1) = 3 + 6 = 9 > 0
Então, a função está crescente nesse intervalo.
  1. Para 0 < x < 2 :
    Seja x = 1 :
y' = 3(1)^2 - 6(1) = 3 - 6 = -3 < 0
Então, a função está decrescente nesse intervalo.
  1. Para x > 2 :
    Seja x = 3 :
y' = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9 > 0
Então, a função está crescente nesse intervalo.

Passo 6

Para saber se os pontos x = 0 e x = 2 são máximos ou mínimos, observamos a mudança no sinal da derivada:
  • Em x = 0 :
    A derivada muda de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em x = 2 :
    A derivada muda de negativa para positiva, indicando um mínimo local.

Passo 7

Vamos encontrar as coordenadas y para x = 0 e x = 2 :
  • Para x = 0 :
y = 0^3 - 3(0)^2 = 0
Então, o ponto é (0, 0) .
  • Para x = 2 :
y = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4
Então, o ponto é (2, -4) .

Passo 8

Para achar os pontos de inflexão, onde a concavidade muda, usamos a segunda derivada.
Primeiro, calculamos a segunda derivada:
y'' = d^2ydx^2 = 6x - 6
Agora, igualamos a segunda derivada a zero para encontrar possíveis pontos de inflexão:
6x - 6 = 0
x = 1
Então, temos um ponto candidato em x = 1 .

Passo 9

Vamos analisar o sinal da segunda derivada y'' nos intervalos determinados por x = 1 :
  1. Para x < 1 :
    Seja x = 0 :
y'' = 6(0) - 6 = -6 < 0
Então, a função é côncava para baixo nesse intervalo.
  1. Para x > 1 :
    Seja x = 2 :
y'' = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0
Então, a função é côncava para cima nesse intervalo.
Como a concavidade muda em x = 1 , temos um ponto de inflexão em x = 1 .
Calculando o valor de y em x = 1 :
y = 1^3 - 3(1)^2 = 1 - 3 = -2
Então, o ponto de inflexão é (1, -2) .

Passo 10

Assíntotas são linhas que o gráfico da função se aproxima, mas nunca toca. Para funções polinomiais como y = x^3 - 3x^2 :
  • Assíntotas Verticais: Não existem, pois polinômios são definidos para todo x .
  • Assíntotas Horizontais: Também não existem, pois o grau do numerador é maior que o do denominador (na verdade, não há denominador aqui).
Então, a função não possui assíntotas.

Resposta

O gráfico da função y = x^3 - 3x^2 possui domínio em todos os números reais, sem pontos de descontinuidade ou assíntotas. Apresenta um máximo local em (0, 0) e um mínimo local em (2, -4) . A função é crescente nos intervalos (-infty, 0) e (2, +infty) , e decrescente no intervalo (0, 2) . Há um ponto de inflexão em (1, -2) , onde a concavidade muda de para baixo para para cima.

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