1. Mostre que v times(s times w)=s(v cdot w)-w(v cdot s). Justifique, geometricamente, o porque o vetor v times(w times s) é uma combinação linear de w e s.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a identidade do produto vetorial triplo
vtimes(stimesw)=s(vcdotw)-w(vcdots)
e, em seguida, justificar geometricamente por que vtimes(wtimess) fica no plano gerado por w e s, ou seja, é combinação linear desses dois vetores.

Passo 2

Vamos usar notação de índices e o símbolo de Levi-Civita varepsilonijk. Pelas definições,
(vtimes(stimesw))i =varepsilonijk,vj,(stimesw)k =varepsilonijk,vj,l(varepsilonklm,sl,wmr) =varepsilonijk,varepsilonklm,vj,sl,wm
Usamos então a identidade de contração
varepsilonijk,varepsilonklm =de<ail,de<ajm-de<aim,de<ajl
onde de<aab é o delta de Kronecker.

Passo 3

Substituindo na expressão de (vtimes(stimesw))i obtemos
(vtimes(stimesw))i =(de<ail,de<ajm-de<aim,de<ajl),vj,sl,wm =si,(vjwj)-wi,(vjsj),
ou seja, em notação vetorial,
vtimes(stimesw) =s,(vcdotw) -w,(vcdots)

Passo 4

Geometricamente, wtimess é ortogonal ao plano gerado por w e s. Ao calcular vtimes(wtimess), o resultado é ortogonal a wtimess e, portanto, pertence ao plano original de w e s. Isso mostra que
vtimes(wtimess)
é combinação linear de w e s.

Resposta

vtimes(stimesw) =s,(vcdotw) -w,(vcdots),
e geometricamente vtimes(wtimess) fica no plano gerado por w e s, sendo portanto combinação linear desses vetores.

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