Decaimento radioativo. No Exemplo 2, suponha que a taxa em que R A1 decai para R A2 seja 40 e^-20 t kg / s e a constante de decaimento para R A2 seja k=5 / s. Encontre a massa y(t) de R A2 para t >= 0 se inicialmente y(0)=10 kg.

Passo 1

O enunciado descreve o problema de decaimento em cadeia: a substância decai para com taxa de ingresso em dada por (kg/s), e simultaneamente decai com constante de decaimento (). Precisamos determinar a massa de para , satisfazendo . O conteúdo envolvido é a resolução de uma equação diferencial linear de primeira ordem não homogênea.

Passo 2

Modelamos a variação de y(t) pela EDO
y'(t)=ingresso(t)-k,y(t)
ou seja
y'(t)+5,y(t)=40,e^-20t

Passo 3

Para resolver a EDO linear ;y'+5y=40e^-20t; usamos o fator integrante mu(t)=e^integral5,dt=e^5t. Multiplicando ambos os lados:
e^5ty'(t)+5e^5ty(t)=40e^5te^-20t
que é
ddtl(e^5ty(t)r)=40e^-15t

Passo 4

Integramos ambos os lados em função de t:
e^5ty(t)=integral 40e^-15t,dt + C =-4015e^-15t+C =-83e^-15t+C
Dividindo por e^5t, obtemos a solução geral
y(t)=-83e^-20t+C,e^-5t

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=10:
10=-tfrac83,e^0+C,e^0 =-tfrac83+C Longrightarrow C=10+tfrac83=tfrac383

Resposta

y(t)=-83e^-20t+383e^-5t(t>=0)

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