Construir os gráficos das funções polinomiais. Encontrar o domínio e o conjunto imagem:
Passo 1
Beleza, então a gente tem o exercício de construir o gráfico da função polinomial
e também de encontrar o domínio e o conjunto imagem dessa função. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funcionam as funções quadráticas, como identificar o domínio (os valores que
pode assumir) e o conjunto imagem (os valores que
pode assumir). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função dada:
. Essa é uma função quadrática porque o
está elevado ao quadrado. Funções quadráticas geralmente têm a forma
, mas aqui podemos ver que a função está escrita de uma forma que facilita identificar seu vértice.
Passo 3
Vamos reescrever a função para facilitar a identificação do vértice. A função
pode ser vista como uma parábola que foi deslocada em relação à forma básica
.
- O termo
indica que a parábola foi movida 1 unidade para a direita. - O número 2 adicionado no início da função indica que a parábola foi levantada 2 unidades para cima.
Portanto, o vértice da parábola está no ponto
.
Passo 4
Agora, vamos identificar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Como estamos lidando com um polinômio (e especificamente uma função quadrática), a função está definida para todos os valores reais de
.
Então, o domínio é:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores de
. Como a função é uma parábola que abre para cima (o coeficiente de
é positivo), o valor mínimo de
ocorre no vértice.
O vértice está em
, então o menor valor de
é 2. Como a parábola se abre para cima,
pode aumentar indefinidamente a partir desse ponto.
Portanto, o conjunto imagem é:
Passo 6
Vamos construir o gráfico agora. Sabemos que o vértice está em
e que a parábola se abre para cima. Podemos escolher alguns valores de
ao redor de 1 para calcular os valores correspondentes de
e plotar no gráfico.
Por exemplo:
- Se
: - Se
: (vértice) - Se
: - Se
: - Se
:
Com esses pontos, conseguimos desenhar a parábola no gráfico, confirmando que ela está centrada no vértice
e se abre para cima.
Resposta
O gráfico da função
é uma parábola com vértice em
, que se abre para cima. O domínio da função é todos os números reais (
) e o conjunto imagem é
.