Construir os gráficos das funções polinomiais. Encontrar o domínio e o conjunto imagem:
y=2+(x-1)^2

Passo 1

Beleza, então a gente tem o exercício de construir o gráfico da função polinomial y = 2 + (x - 1)^2 e também de encontrar o domínio e o conjunto imagem dessa função. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como funcionam as funções quadráticas, como identificar o domínio (os valores que x pode assumir) e o conjunto imagem (os valores que y pode assumir). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função dada: y = 2 + (x - 1)^2 . Essa é uma função quadrática porque o x está elevado ao quadrado. Funções quadráticas geralmente têm a forma y = ax^2 + bx + c , mas aqui podemos ver que a função está escrita de uma forma que facilita identificar seu vértice.

Passo 3

Vamos reescrever a função para facilitar a identificação do vértice. A função y = 2 + (x - 1)^2 pode ser vista como uma parábola que foi deslocada em relação à forma básica y = x^2 .
  • O termo (x - 1)^2 indica que a parábola foi movida 1 unidade para a direita.
  • O número 2 adicionado no início da função indica que a parábola foi levantada 2 unidades para cima.
Portanto, o vértice da parábola está no ponto (1, 2) .

Passo 4

Agora, vamos identificar o domínio da função. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de x para os quais a função está definida. Como estamos lidando com um polinômio (e especificamente uma função quadrática), a função está definida para todos os valores reais de x .
Então, o domínio é:
Domínio = x in R í

Passo 5

Em seguida, vamos determinar o conjunto imagem da função, que são todos os possíveis valores de y . Como a função é uma parábola que abre para cima (o coeficiente de (x - 1)^2 é positivo), o valor mínimo de y ocorre no vértice.
O vértice está em (1, 2) , então o menor valor de y é 2. Como a parábola se abre para cima, y pode aumentar indefinidamente a partir desse ponto.
Portanto, o conjunto imagem é:
Conjunto Ima>=m = y in R | y >= 2

Passo 6

Vamos construir o gráfico agora. Sabemos que o vértice está em (1, 2) e que a parábola se abre para cima. Podemos escolher alguns valores de x ao redor de 1 para calcular os valores correspondentes de y e plotar no gráfico.
Por exemplo:
  • Se x = 0 : y = 2 + (0 - 1)^2 = 2 + 1 = 3
  • Se x = 1 : y = 2 + (1 - 1)^2 = 2 + 0 = 2 (vértice)
  • Se x = 2 : y = 2 + (2 - 1)^2 = 2 + 1 = 3
  • Se x = -1 : y = 2 + (-1 - 1)^2 = 2 + 4 = 6
  • Se x = 3 : y = 2 + (3 - 1)^2 = 2 + 4 = 6
Com esses pontos, conseguimos desenhar a parábola no gráfico, confirmando que ela está centrada no vértice (1, 2) e se abre para cima.

Resposta

O gráfico da função y = 2 + (x - 1)^2 é uma parábola com vértice em (1, 2) , que se abre para cima. O domínio da função é todos os números reais ( R ) e o conjunto imagem é y >= 2 .

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