Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular (isto é, cujo vetor tangente é não nulo) alpha(t)= (3 t, 3 t^2, 2 t^3) fazem um ângulo constante com a reta y=0, z=x.

Passo 1

O enunciado nos dá a curva parametrizada alpha(t)=(3t,3t^2,2t^3), regular pois o vetor tangente nunca é nulo, e pede para mostrar que as retas tangentes fazem um ângulo constante com a reta y=0,;z=x. Para isso vamos usar vetores diretores e produto escalar para calcular o cosseno do ângulo entre duas direções.

Passo 2

Calculamos o vetor tangente alpha'(t). Como
alpha'(t) =l(tfracddt(3t),,tfracddt(3t^2),,tfracddt(2t^3)r) =(3,6t,6t^2),
vemos que alpha'(t)neq(0,0,0) para todo t, confirmando que a curva é regular e que a reta tangente está bem definida.

Passo 3

Identificamos o vetor diretor da reta fixa y=0,;z=x. Uma parametrização é
s;mapsto;(s,0,s),
logo seu vetor diretor é
v=(1,0,1)

Passo 4

O cosseno do ângulo theta entre dois vetores a e b é dado por
costheta = acdot b|a||b|
Aqui escolhemos a=alpha'(t) e b=v. Calculamos primeiro o produto escalar:
alpha'(t)cdot v =3cdot1 + 6tcdot0 + 6t^2cdot1 =3 + 6t^2 =3,(1+2t^2)

Passo 5

Em seguida, as normas são
|alpha'(t)| =raiz3^2 + (6t)^2 + (6t^2)^2 =raiz9 + 36t^2 + 36t^4 =3raiz(1+2t^2)^2 =3,(1+2t^2),
|v| =raiz1^2 + 0^2 + 1^2 =raiz2

Passo 6

Substituindo em costheta, obtém-se
costheta =3(1+2t^2)3(1+2t^2),raiz2 =1raiz2,
logo
theta = pi/4,
constante. Assim, as retas tangentes formam sempre o mesmo ângulo pi/4 com a reta y=0,;z=x.

Resposta

O ângulo constante entre as retas tangentes e a reta y=0,;z=x é pi/4.

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