Mostre que as retas tangente à curva parametrizada regular (isto é, cujo vetor tangente é não nulo)
fazem um ângulo constante com a reta
.
Passo 1
O enunciado nos dá a curva parametrizada
, regular pois o vetor tangente nunca é nulo, e pede para mostrar que as retas tangentes fazem um ângulo constante com a reta
. Para isso vamos usar vetores diretores e produto escalar para calcular o cosseno do ângulo entre duas direções.
Passo 2
Calculamos o vetor tangente
. Como
vemos que
para todo
, confirmando que a curva é regular e que a reta tangente está bem definida.
Passo 3
Identificamos o vetor diretor da reta fixa
. Uma parametrização é
logo seu vetor diretor é
Passo 4
O cosseno do ângulo
entre dois vetores
e
é dado por
Aqui escolhemos
e
. Calculamos primeiro o produto escalar:
Passo 5
Em seguida, as normas são
Passo 6
Substituindo em
, obtém-se
logo
,
constante. Assim, as retas tangentes formam sempre o mesmo ângulo com a reta
.
constante. Assim, as retas tangentes formam sempre o mesmo ângulo
Resposta
O ângulo constante entre as retas tangentes e a reta
é
.