Verifique a validade do teorema de clairant, isto é, ux y=uy x para u=e^x y sen y k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o teorema de Clairaut é válido para a função u = e^xy sin y . Esse teorema diz que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais, ou seja, uxy = uyx . Para isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas e ver se realmente são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de u em relação a x . Lembre-se que, quando derivamos em relação a x , tratamos y como uma constante.
u = e^xy sin y
Derivando em relação a x :
ux = partialpartial x(e^xy sin y) = e^xy sin y cdot partialpartial x(xy) = e^xy sin y cdot y = y e^xy sin y

Passo 3

Agora, vamos derivar ux em relação a y para encontrar uxy .
ux = y e^xy sin y
Aplicando a derivada em relação a y :
uxy = partialpartial y(y e^xy sin y)
Aqui, temos um produto de três funções de y : y , e^xy e sin y . Vamos usar a regra do produto:
Primeiro, derivamos y :
partialpartial y(y) = 1
Então, derivamos e^xy :
partialpartial y(e^xy) = e^xy cdot x
E derivamos sin y :
partialpartial y(sin y) = cos y
Agora, aplicando a regra do produto:
uxy = (1) cdot e^xy sin y + y cdot e^xy x sin y + y cdot e^xy cos y
uxy = e^xy sin y + xy e^xy sin y + y e^xy cos y

Passo 4

Vamos agora calcular uyx . Para isso, primeiro derivamos u em relação a y e depois em relação a x .
Primeiro, derivando u em relação a y :
u = e^xy sin y
uy = partialpartial y(e^xy sin y) = e^xy sin y cdot partialpartial y(xy) + e^xy cos y
uy = e^xy cdot x sin y + e^xy cos y
uy = x e^xy sin y + e^xy cos y

Passo 5

Agora, derivamos uy em relação a x :
uy = x e^xy sin y + e^xy cos y
Derivando em relação a x :
uyx = partialpartial x(x e^xy sin y) + partialpartial x(e^xy cos y)
Primeiro termo:
partialpartial x(x e^xy sin y) = e^xy sin y + x e^xy y sin y
Segundo termo:
partialpartial x(e^xy cos y) = e^xy cos y cdot y
Juntando tudo:
uyx = e^xy sin y + xy e^xy sin y + y e^xy cos y

Resposta

Como uxy = uyx = e^xy sin y + xy e^xy sin y + y e^xy cos y , o teorema de Clairaut é válido para a função dada.

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