Verifique a validade do teorema de clairant, isto é,
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se o teorema de Clairaut é válido para a função
. Esse teorema diz que as derivadas parciais mistas de segunda ordem são iguais, ou seja,
. Para isso, vamos calcular cada uma dessas derivadas e ver se realmente são iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
. Lembre-se que, quando derivamos em relação a
, tratamos
como uma constante.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
.
Aplicando a derivada em relação a
:
Aqui, temos um produto de três funções de
:
,
e
. Vamos usar a regra do produto:
Primeiro, derivamos
:
Então, derivamos
:
E derivamos
:
Agora, aplicando a regra do produto:
Passo 4
Vamos agora calcular
. Para isso, primeiro derivamos
em relação a
e depois em relação a
.
Primeiro, derivando
em relação a
:
Passo 5
Agora, derivamos
em relação a
:
Derivando em relação a
:
Primeiro termo:
Segundo termo:
Juntando tudo:
Resposta
Como
, o teorema de Clairaut é válido para a função dada.