Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes simétricos de ordem , e polinômios de grau .
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente construir um isomorfismo entre dois espaços vetoriais diferentes. Os espaços em questão são:
Espaço das matrizes simétricas de ordem 3: São matrizes onde o elemento na posição é igual ao elemento na posição .
Espaço dos polinômios de grau ≤ 5, denotado por : São todos os polinômios de com grau máximo de 5.
Vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como podemos mapear uma matriz simétrica para um polinômio de grau até 5 de maneira que essa correspondência seja bijetora (ou seja, um para um e sobre).
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo entre dois espaços vetoriais. Um isomorfismo é uma função linear que estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos desses espaços, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Se conseguirmos definir essa função, mostramos que os dois espaços são essencialmente “iguais” em termos de estrutura vetorial.
Passo 3
Vamos analisar as dimensões dos dois espaços para termos certeza de que é possível existir um isomorfismo entre eles. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
Matrizes simétricas : Uma matriz simétrica tem elementos iguais em posições espelhadas. Então, basta contar os elementos na diagonal e acima (ou abaixo) dela.
Polinômios de grau ≤ 5: Um polinômio de grau até 5 tem 6 coeficientes (de a ).
Como ambos os espaços têm a mesma dimensão, isso é um bom sinal de que um isomorfismo pode existir.
Passo 4
Agora, precisamos definir uma função linear que mapeie cada matriz simétrica para um polinômio de grau ≤ 5 de maneira única e vice-versa. Vamos construir essa função passo a passo.
Vamos identificar uma base para o espaço das matrizes simétricas e uma base para o espaço dos polinômios .
Base das matrizes simétricas:
Base dos polinômios P5(t) :
B = 1, t, t^2, t^3, t^4, t^5
Passo 5
Vamos agora definir a função phi que mapeia cada base de matrizes simétricas para a base dos polinômios. Vamos associar cada Ei com um t^i-1 :
Essa definição garante que phi é uma função linear, já que ela respeita a combinação linear das bases.
Passo 6
Para termos certeza de que phi é um isomorfismo, precisamos verificar que é bijetora:
Injetora: Cada elemento da base das matrizes simétricas mapeia para um elemento distinto em P5(t) , então não há dois diferentes Ei que mapeiam para o mesmo polinômio.
Sobrejetora: Cada elemento da base B de P5(t) é a imagem de algum Ei , garantindo que todo polinômio de P5(t) é alcançado por phi .
Assim, phi é bijetora e, portanto, um isomorfismo.
Resposta
Portanto, o isomorfismo phi que mapeia cada matriz simétrica Ei para o polinômio t^i-1 define uma correspondência biunívoca entre o espaço das matrizes simétricas de ordem 3 e o espaço dos polinômios de grau ≤ 5, estabelecendo que eles são isomorfos.