Construir um isomorfismo entre espaços vetorias de matrizes simétricos de ordem 3, A^T=A, e polinômios de grau <= 5, P5(t).

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear que pede pra gente construir um isomorfismo entre dois espaços vetoriais diferentes. Os espaços em questão são:
  1. Espaço das matrizes simétricas de ordem 3: São matrizes 3 times 3 onde o elemento na posição (i,j) é igual ao elemento na posição (j,i) .
  2. Espaço dos polinômios de grau ≤ 5, denotado por P5(t) : São todos os polinômios de t com grau máximo de 5.
Vamos precisar entender o que é um isomorfismo e como podemos mapear uma matriz simétrica para um polinômio de grau até 5 de maneira que essa correspondência seja bijetora (ou seja, um para um e sobre).

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um isomorfismo entre dois espaços vetoriais. Um isomorfismo é uma função linear que estabelece uma correspondência biunívoca entre os elementos desses espaços, preservando as operações de adição e multiplicação por escalar. Se conseguirmos definir essa função, mostramos que os dois espaços são essencialmente “iguais” em termos de estrutura vetorial.

Passo 3

Vamos analisar as dimensões dos dois espaços para termos certeza de que é possível existir um isomorfismo entre eles. A dimensão de um espaço vetorial é o número de vetores em uma base desse espaço.
  • Matrizes simétricas 3 times 3 : Uma matriz simétrica tem elementos iguais em posições espelhadas. Então, basta contar os elementos na diagonal e acima (ou abaixo) dela.
Número de e<=mentos independentes = 6 ú
  • Polinômios de grau ≤ 5: Um polinômio de grau até 5 tem 6 coeficientes (de t^0 a t^5 ).
Dimensão = 6 ã
Como ambos os espaços têm a mesma dimensão, isso é um bom sinal de que um isomorfismo pode existir.

Passo 4

Agora, precisamos definir uma função linear que mapeie cada matriz simétrica para um polinômio de grau ≤ 5 de maneira única e vice-versa. Vamos construir essa função passo a passo.
Vamos identificar uma base para o espaço das matrizes simétricas e uma base para o espaço dos polinômios P5(t) .
  • Base das matrizes simétricas:
E1 = 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E2 = 0 & 1 & 0 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , E3 = 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 1 & 0 & 0 , E4 = 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0 , E5 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1 0 & 1 & 0 , E6 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 1
  • Base dos polinômios P5(t) :
B = 1, t, t^2, t^3, t^4, t^5

Passo 5

Vamos agora definir a função phi que mapeia cada base de matrizes simétricas para a base dos polinômios. Vamos associar cada Ei com um t^i-1 :
phi(E1) = 1, phi(E2) = t, phi(E3) = t^2, phi(E4) = t^3, phi(E5) = t^4, phi(E6) = t^5
Essa definição garante que phi é uma função linear, já que ela respeita a combinação linear das bases.

Passo 6

Para termos certeza de que phi é um isomorfismo, precisamos verificar que é bijetora:
  • Injetora: Cada elemento da base das matrizes simétricas mapeia para um elemento distinto em P5(t) , então não há dois diferentes Ei que mapeiam para o mesmo polinômio.
  • Sobrejetora: Cada elemento da base B de P5(t) é a imagem de algum Ei , garantindo que todo polinômio de P5(t) é alcançado por phi .
Assim, phi é bijetora e, portanto, um isomorfismo.

Resposta

Portanto, o isomorfismo phi que mapeia cada matriz simétrica Ei para o polinômio t^i-1 define uma correspondência biunívoca entre o espaço das matrizes simétricas de ordem 3 e o espaço dos polinômios de grau ≤ 5, estabelecendo que eles são isomorfos.

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