Seja RA: Mat(2) Mat(2) um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como RA(B)=A B, onde B in Mat(2) e
A=(ll 1 & 2 0 & 0 )
Achar a matriz RA (de ordem 4) desse operador na base canonica de Mat(2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz RA de ordem 4 para o operador linear RA que atua no espaço das matrizes 2 times 2 . O operador é definido por RA(B) = A cdot B , onde A é a matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como bases, operadores lineares e representação matricial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o espaço das matrizes 2 times 2 , denotado por Mat(2) , tem dimensão 4. A base padrão (ou base canônica) desse espaço é composta pelas seguintes matrizes:
E11 = 1 & 0 0 & 0, E12 = 0 & 1 0 & 0, E21 = 0 & 0 1 & 0, E22 = 0 & 0 0 & 1
Essas matrizes servem como “blocos de construção” para qualquer matriz 2 times 2 .

Passo 3

Agora, vamos aplicar o operador RA em cada uma dessas matrizes da base canônica. Isso significa multiplicar a matriz A pela matriz base correspondente.
A matriz A é:
A = 1 & 2 0 & 0
Vamos calcular cada RA(Eij) = A cdot Eij :
  1. Para E11 :
A cdot E11 = 1 & 2 0 & 0 cdot 1 & 0 0 & 0 = 1 cdot 1 + 2 cdot 0 & 1 cdot 0 + 2 cdot 0 0 cdot 1 + 0 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 1 & 0 0 & 0 = E11
  1. Para E12 :
A cdot E12 = 1 & 2 0 & 0 cdot 0 & 1 0 & 0 = 1 cdot 0 + 2 cdot 0 & 1 cdot 1 + 2 cdot 0 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 1 + 0 cdot 0 = 0 & 1 0 & 0 = E12
  1. Para E21 :
A cdot E21 = 1 & 2 0 & 0 cdot 0 & 0 1 & 0 = 1 cdot 0 + 2 cdot 1 & 1 cdot 0 + 2 cdot 0 0 cdot 0 + 0 cdot 1 & 0 cdot 0 + 0 cdot 0 = 2 & 0 0 & 0 = 2E11
  1. Para E22 :
A cdot E22 = 1 & 2 0 & 0 cdot 0 & 0 0 & 1 = 1 cdot 0 + 2 cdot 0 & 1 cdot 0 + 2 cdot 1 0 cdot 0 + 0 cdot 0 & 0 cdot 0 + 0 cdot 1 = 0 & 2 0 & 0 = 2E12

Passo 4

Agora que aplicamos o operador a cada matriz da base, vamos expressar os resultados como combinações lineares das matrizes da base canônica:
  1. RA(E11) = E11
  2. RA(E12) = E12
  3. RA(E21) = 2E11
  4. RA(E22) = 2E12
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz RA .

Passo 5

A partir das combinações lineares encontradas, vamos montar a matriz RA . Cada coluna de RA corresponde aos coeficientes das expressões acima, ordenadas conforme a base canônica [E11, E12, E21, E22] . Assim:
RA = 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

Resposta

A matriz RA de ordem 4 na base canônica de Mat(2) é:
RA = 1 & 0 & 2 & 0 0 & 1 & 0 & 2 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0

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