Seja um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como , onde e
Achar a matriz RA (de ordem 4) desse operador na base canonica de Mat(2).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a matriz RA de ordem 4 para o operador linear RA que atua no espaço das matrizes 2 times 2 . O operador é definido por RA(B) = A cdot B , onde A é a matriz dada. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear como bases, operadores lineares e representação matricial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o espaço das matrizes 2 times 2 , denotado por Mat(2) , tem dimensão 4. A base padrão (ou base canônica) desse espaço é composta pelas seguintes matrizes:
Essas matrizes servem como “blocos de construção” para qualquer matriz 2 times 2 .
Passo 3
Agora, vamos aplicar o operador RA em cada uma dessas matrizes da base canônica. Isso significa multiplicar a matriz A pela matriz base correspondente.
Agora que aplicamos o operador a cada matriz da base, vamos expressar os resultados como combinações lineares das matrizes da base canônica:
RA(E11) = E11
RA(E12) = E12
RA(E21) = 2E11
RA(E22) = 2E12
Isso nos dá os coeficientes que vão formar as colunas da matriz RA .
Passo 5
A partir das combinações lineares encontradas, vamos montar a matriz RA . Cada coluna de RA corresponde aos coeficientes das expressões acima, ordenadas conforme a base canônica [E11, E12, E21, E22] . Assim: