Seja um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como ,
onde
Determinar dim N(RA) e dim Im(RA).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um operador linear RA que pega uma matriz B de ordem 2 e multiplica pela esquerda pela matriz A dada. Queremos descobrir duas coisas: a dimensão do núcleo de RA, que é o conjunto de todas as matrizes B que ao serem multiplicadas por A dão a matriz zero, e a dimensão da imagem de RA, que é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas através dessa multiplicação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e propriedades de operadores lineares.
Passo 2
Vamos começar achando o núcleo de RA, ou seja, todas as matrizes B que satisfazem a equação A B = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 2.
Isso mostra que o núcleo de RA é gerado por duas matrizes linearmente independentes, logo a dimensão do núcleo é 2:
dim N(RA) = 2
Passo 5
Agora, usamos o teorema do posto-nulidade, que diz que para um operador linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, a soma da dimensão do núcleo e da dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. No nosso caso: