Seja RA: Mat(2) Mat(2) um operador linear no espaço vetorial de matrizes quadradas de orderm 2 , definido como RA(B)=A B,
onde B in Mat(2) e
A=(ll 1 & 2 0 & 0 )
Determinar dim N(RA) e dim Im(RA).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos um operador linear RA que pega uma matriz B de ordem 2 e multiplica pela esquerda pela matriz A dada. Queremos descobrir duas coisas: a dimensão do núcleo de RA, que é o conjunto de todas as matrizes B que ao serem multiplicadas por A dão a matriz zero, e a dimensão da imagem de RA, que é o conjunto de todas as matrizes que podem ser obtidas através dessa multiplicação. Para resolver isso, vamos usar conceitos de espaços vetoriais e propriedades de operadores lineares.

Passo 2

Vamos começar achando o núcleo de RA, ou seja, todas as matrizes B que satisfazem a equação A B = 0, onde 0 é a matriz nula de ordem 2.

Passo 3

Vamos representar uma matriz genérica B como:
B = b11 & b12 b21 & b22
Agora, multiplicamos A por B:
A cdot B = 1 & 2 0 & 0 cdot b11 & b12 b21 & b22 = 1 cdot b11 + 2 cdot b21 & 1 cdot b12 + 2 cdot b22 0 & 0 = b11 + 2 b21 & b12 + 2 b22 0 & 0
Para que A B = 0, cada entrada resultante deve ser zero. Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
b11 + 2 b21 = 0 b12 + 2 b22 = 0

Passo 4

Resolvendo esse sistema, encontramos que:
b11 = -2 b21 b12 = -2 b22
Isso significa que as entradas b21 e b22 são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Podemos então expressar a matriz B da seguinte forma:
B = -2 b21 & -2 b22 b21 & b22 = b21 -2 & 0 1 & 0 + b22 0 & -2 0 & 1
Isso mostra que o núcleo de RA é gerado por duas matrizes linearmente independentes, logo a dimensão do núcleo é 2:
dim N(RA) = 2

Passo 5

Agora, usamos o teorema do posto-nulidade, que diz que para um operador linear entre espaços vetoriais de dimensão finita, a soma da dimensão do núcleo e da dimensão da imagem é igual à dimensão do espaço de partida. No nosso caso:
dim N(RA) + dim Im(RA) = dim Mat(2) = 4
Como já sabemos que dim N(RA) = 2, então:
dim Im(RA) = 4 - 2 = 2

Resposta

Então, dim N(RA) = 2 e dim Im(RA) = 2.

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