Seja PE a matriz de um operador linear no plano na base E,
PE=(ll 0 & 1 1 & 0 )
Dada a matriz T de mudança da base E para a base C,
T=(cc cos (pi3) & sin (pi3) -sin (pi3) & cos (pi3) )
calcular a matriz PB desse operador na base B.

Passo 1

O enunciado dá a matriz de um operador linear P no plano na base E,
PE = 0 & 1 1 & 0,
e a matriz de mudança de base de E para outra base B (chamada de C no enunciado),
T = cosl(tfracpi3r) & sinl(tfracpi3r) -sinl(tfracpi3r) & cosl(tfracpi3r) = 12 & raiz32 -raiz32 & 12
Queremos a matriz PB do mesmo operador na base B. O conteúdo aqui é mudança de base de um operador:
PB ;=; T^-1,PE,T

Passo 2

Como T é matriz de rotação (ortogonal), temos
T^-1 ;=; T^T ;=; 12 & -raiz32 raiz32 & 12

Passo 3

Calculamos primeiro o produto intermediário PET:
PET = 0 & 1 1 & 0 12 & raiz32 -raiz32 & 12 = -raiz32 & 12 12 & raiz32

Passo 4

Agora multiplicamos T^-1 por esse resultado:
PB = T^-1,(PET) = 12 & -raiz32 raiz32 & 12 -raiz32 & 12 12 & raiz32
Calculando entrada a entrada:
(PB)11 &= 12l(-tfracraiz32r)+l(-tfracraiz32r)tfrac12 = -tfracraiz34-tfracraiz34 = -tfracraiz32, (PB)12 &= 12cdottfrac12+l(-tfracraiz32r)tfracraiz32 = tfrac14 - tfrac34 = -tfrac12, (PB)21 &= raiz32l(-tfracraiz32r)+12cdottfrac12 = -tfrac34+tfrac14 = -tfrac12, (PB)22 &= raiz32cdottfrac12+12cdottfracraiz32 = tfracraiz34+tfracraiz34 = tfracraiz32

Resposta

PB = -tfracraiz32 & -tfrac12 -tfrac12 & tfracraiz32

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