Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja:
a) (2raiz5,-1raiz5)
b) (13,-23,-23)
25) Mostrar que se A e B são matrizes ortogonais, então A B também é ortogonal.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
) Construir uma matriz ortogonal em cuja primeira coluna seja

e outra em cuja primeira coluna seja
.
Para isso usaremos o processo de Gram–Schmidt (ou vetores perpendiculares e normalização).
) Mostrar que, se e são ortogonais, então também é ortogonal, usando a definição .

Passo 2

Construção em . Seja
Procuramos tal que e . Escolhemos
Então e . A matriz cuja colunas são é ortogonal.

Passo 3

Construção em . Seja
Escolhemos o vetor auxiliar
Como , normalizamos :
Em seguida definimos o terceiro vetor pela regra do cruzamento:
que já tem norma e é ortogonal a e . As colunas formam uma matriz ortogonal.

Passo 4

Prova de fechamento sob produto. Se A e B são ortogonais então
A^TA = I e B^TB = I
Logo
(AB)^T(AB) = B^T A^T A B = B^T I B = B^T B = I
Portanto AB satisfaz (AB)^T(AB)=I e é ortogonal.

Resposta

(a) Em R^2:
2raiz5 & 1raiz5 [6pt] -1raiz5 & 2raiz5
(b) Em R^3:
13 & 0 & 43raiz2 [6pt] -23 & 1raiz2 & 13raiz2 [6pt] -23 & -1raiz2 & 13raiz2
25 Pelo cálculo em Passo 4,
(AB)^T(AB)=I,
logo AB é ortogonal.]

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