Construir uma matriz ortogonal cuja primeira coluna seja:
a)
b)
25) Mostrar que se e são matrizes ortogonais, então também é ortogonal.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: ) Construir uma matriz ortogonal em cuja primeira coluna seja
e outra em cuja primeira coluna seja .
Para isso usaremos o processo de Gram–Schmidt (ou vetores perpendiculares e normalização). ) Mostrar que, se e são ortogonais, então também é ortogonal, usando a definição .
Passo 2
Construção em . Seja
Procuramos tal que e . Escolhemos
Então e . A matriz cuja colunas são é ortogonal.
Passo 3
Construção em . Seja
Escolhemos o vetor auxiliar
Como , normalizamos :
Em seguida definimos o terceiro vetor pela regra do cruzamento:
que já tem norma e é ortogonal a e . As colunas formam uma matriz ortogonal.
Passo 4
Prova de fechamento sob produto. Se e são ortogonais então