Em relação aos operadores dados, determinar primeiramente a matriz T na base A e, a seguir, utilizar a relação entre matrizes semelhantes para calcular a matriz de T na base B.
a) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(x+2 y,-x+y)
A=(-1,1),(1,2) e B=(1,-3),(0,2)
b) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(2 x-3 y, x+y)
A=(1,0),(0,1) e B=(3,0),(-2,-1)
c) T: I R^2 I R^2, T(x, y)=(7 x-4 y,-4 x+y)

Passo 1

O enunciado pede para cada operador linear Tcolon R^2to R^2 encontrar primeiro a matriz de T na base A e em seguida a matriz de T na base B. O conteúdo envolve matrizes de transformação linear, mudança de base e similaridade de matrizes. O plano é:
1. Calcular [T]A aplicando T a cada vetor de A e escrevendo o resultado em coordenadas de A.
2. Montar a matriz de mudança de base P cujas colunas são as coordenadas dos vetores de B em relação a A.
3. Usar a relação de semelhança
[T]B=P^-1,[T]A,P

Passo 2

Parte (a): T(x,y)=(x+2y,,-x+y),
A=a1=(-1,1),,a2=(1,2).
1) Calcular
T(a1)=T(-1,1)=( -1+2cdot1,,-(-1)+1 )=(1,2),
T(a2)=T(1,2)=(1+2cdot2,,-1+2)=(5,1)
2) Expressões em A:
,(1,2)=0cdot a1+1cdot a2 e (5,1)=-3cdot a1+2cdot a2.
Logo
[T]A= 0 & -3 1 & 2

Passo 3

Ainda em (a), base B=b1=(1,-3),,b2=(0,2).
1) Coordenadas de B em A:
b1=(1,-3)=-53,a1-23,a2, b2=(0,2)=23,a1+23,a2
Então
P=-53 & 23[6pt] -23 & 23 , P^-1=-1 & 1[3pt] -1 & 52
2) Aplico a semelhança e obtenho
[T]B =P^-1,[T]A,P =-5 & 4[3pt] -192 & 7 ]

Passo 4

Parte (b): T(x,y)=(2x-3y,;x+y),
A=(1,0),(0,1) (base canônica).
Basta ler a matriz diretamente:
[T]A= 2 & -3 1 & 1

Passo 5

Ainda em (b), B=(3,0),,(-2,-1).
1) Mudança de base P (colunas são os vetores de B em canônica):
P=3 & -20 & -1, P^-1=13 & -23[3pt] 0 & -1
2) Uso similaridade:
[T]B =P^-1,[T]A,P = 0 & 53[3pt] -3 & 3 ]

Passo 6

Parte (c): foi dado apenas T(x,y)=(7x-4y,,-4x+y) sem especificar quais são as bases A e B. Como não há informação sobre as bases, não é possível calcular [T]A e [T]B nos termos pedidos.

Resposta

a)
[T]A=0 & -31 & 2, [T]B=-5 & 4-tfrac192 & 7
b)
[T]A=2 & -31 & 1, [T]B=0 & tfrac53-3 & 3
c) Não é possível determinar sem as bases A e B.

Exercícios relacionados