Dentre os seguintes operadores lineares, verificar quais são ortogonais:
a) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(z, x,-y)
b) T: I R^3 I R^3, T(x, y, z)=(x, y, z)

Passo 1

O enunciado apresenta dois operadores lineares em R^3:
a) Ta(x,y,z)=(z,x,-y)
b) Tb(x,y,z)=(x,y,z)
Queremos verificar quais deles são ortogonais, ou seja, quais preservam o produto interno
lang<= u,vrang<= =u1v1+u2v2+u3v3.

Passo 2

Um operador linear T em R^3 é ortogonal se e somente se sua matriz M na base canônica satisfaz
M^T M = I3,
onde I3 é a matriz identidade 3times3. Em outras palavras, T é ortogonal se M^-1=M^T.

Passo 3

Para o operador Ta, calculamos sua matriz Ma na base canônica. As colunas de Ma são Ta(e1), Ta(e2) e Ta(e3), onde
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1). Temos
Ta(e1) = (0,1,0), Ta(e2) = (0,0,-1), Ta(e3) = (1,0,0),
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Ma = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & -1 & 0

Passo 4

Calculamos agora Ma^T Ma. Pela defini\c{c}~ao de multiplica\c{c}~ao de matrizes, encontra-se
Ma^T Ma = I3
Como o produto d’a exatamente a identidade, conclu’imos que Ma^-1=Ma^T, ou seja, Ta `e ortogonal.

Passo 5

Para o operador Tb, é imediato que sua matriz na base canônica é
Mb = I3
Então
Mb^T Mb = I3^T I3 = I3,
e portanto Tb também é ortogonal.

Resposta

Ambos os operadores são ortogonais:
a) ortogonal
b) ortogonal

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