Dentre os seguintes operadores lineares, verificar quais são ortogonais:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado apresenta dois operadores lineares em
:
a)
b)
b)
Queremos verificar quais deles são ortogonais, ou seja, quais preservam o produto interno
.
Passo 2
Um operador linear
em
é ortogonal se e somente se sua matriz
na base canônica satisfaz
onde
é a matriz identidade
. Em outras palavras,
é ortogonal se
.
Passo 3
Para o operador
, calculamos sua matriz
na base canônica. As colunas de
são
,
e
, onde
,
,
. Temos
logo
Passo 4
Calculamos agora
Ma^T Ma . Pela defini\c{c}~ao de multiplica\c{c}~ao de matrizes, encontra-se
Como o produto d’a exatamente a identidade, conclu’imos que
Ma^-1=Ma^T , ou seja,
Ta `e ortogonal.
Passo 5
Para o operador
Tb , é imediato que sua matriz na base canônica é
Então
e portanto
Tb também é ortogonal.
Resposta
Ambos os operadores são ortogonais:
a) ortogonal
b) ortogonal
a) ortogonal
b) ortogonal