Seja
um grupo com unidade
. Prove que se
, para todo
, então
é um grupo abeliano.
Passo 1
O enunciado diz que
é um grupo com elemento neutro
e que todo elemento satisfaz
O que queremos provar é que
é abeliano, isto é, que para quaisquer
vale
Passo 2
Como
, multiplicando dos lados por
(que existe pois
é grupo) vemos que
Em outras palavras, cada elemento é o seu próprio inverso.
Passo 3
Na teoria de grupos sabemos que o inverso de um produto é
Usando o resultado do passo anterior (
e
), obtemos
Passo 4
Por outro lado,
também satisfaz a hipótese de involução, pois
Comparando com o resultado do passo 3, concluímos
logo
.