Seja G um grupo com unidade e in G. Prove que se g^2=e, para todo g in G, então G é um grupo abeliano.

Passo 1

O enunciado diz que G é um grupo com elemento neutro e e que todo elemento satisfaz
g^2=e
O que queremos provar é que G é abeliano, isto é, que para quaisquer g,hin G vale
gh=hg

Passo 2

Como g^2=e, multiplicando dos lados por g^-1 (que existe pois G é grupo) vemos que
gcdot g = e Longrightarrow g = g^-1
Em outras palavras, cada elemento é o seu próprio inverso.

Passo 3

Na teoria de grupos sabemos que o inverso de um produto é
(gh)^-1=h^-1,g^-1
Usando o resultado do passo anterior ( g^-1=g e h^-1=h), obtemos
(gh)^-1=h,g

Passo 4

Por outro lado, gh também satisfaz a hipótese de involução, pois
(gh)^2=e Longrightarrow (gh)^-1=gh
Comparando com o resultado do passo 3, concluímos
gh = (gh)^-1 = h,g,
logo gh=hg.

Resposta

G é abeliano.

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