Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto
(os reais não-nulos) com a operação de multiplicação é um grupo abeliano. Para isso, precisamos verificar os axiomas de grupo:
- Fechamento
- Associatividade
- Existência de elemento neutro
- Existência de inversos
- Comutatividade (para ser abeliano)
Passo 2
Fechamento: tomemos
. Como
e
, o produto
também não é zero. Logo
, mostrando que
é fechado sob multiplicação.
Passo 3
Associatividade: sabemos que a multiplicação em
é associativa, ou seja, para quaisquer
vale
Como
, essa propriedade permanece válida em
.
Passo 4
Elemento neutro: na multiplicação em
o elemento neutro é
, pois para todo
vale
Como
, temos
, satisfazendo o axioma do neutro.
Passo 5
Inversos: dado
,
, definimos o inverso de
como
. Então
portanto todo elemento de
possui inverso multiplicativo em
.
Passo 6
Comutatividade: a multiplicação no conjunto dos reais é comutativa, ou seja, para quaisquer
Isso garante que o grupo seja abeliano.
Resposta
Portanto,
satisfaz todos os axiomas de um grupo e ainda é comutativo, ou seja, é um grupo abeliano.