Verifique que os conjuntos munidos das operações abaixo são grupos abelianos.
(R^*,).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto R^* (os reais não-nulos) com a operação de multiplicação é um grupo abeliano. Para isso, precisamos verificar os axiomas de grupo:
  1. Fechamento
  2. Associatividade
  3. Existência de elemento neutro
  4. Existência de inversos
  5. Comutatividade (para ser abeliano)

Passo 2

Fechamento: tomemos a,binR^*. Como aneq0 e bneq0, o produto ab também não é zero. Logo abinR^*, mostrando que R^* é fechado sob multiplicação.

Passo 3

Associatividade: sabemos que a multiplicação em R é associativa, ou seja, para quaisquer a,b,cinR vale
(ab)c = a(bc)
Como R^*subsetR, essa propriedade permanece válida em R^*.

Passo 4

Elemento neutro: na multiplicação em R o elemento neutro é 1, pois para todo ainR vale
1cdot a = a e acdot 1 = a
Como 1neq0, temos 1inR^*, satisfazendo o axioma do neutro.

Passo 5

Inversos: dado ainR^*, aneq0, definimos o inverso de a como a^-1 = 1/a. Então
acdot a^-1 = acdot1a = 1 e a^-1cdot a = 1,
portanto todo elemento de R^* possui inverso multiplicativo em R^*.

Passo 6

Comutatividade: a multiplicação no conjunto dos reais é comutativa, ou seja, para quaisquer a,binR^*
acdot b = bcdot a
Isso garante que o grupo seja abeliano.

Resposta

Portanto, l(R^*,cdotr) satisfaz todos os axiomas de um grupo e ainda é comutativo, ou seja, é um grupo abeliano.

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