Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de 30 m^3, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de R para o chão, para o chão, para os lados e 204.000,00 para o teto. Que dimensões minimizam o custo?

Passo 1

No enunciado, precisamos construir um depósito de volume 30,m^3, com base retangular cuja largura é tfrac34 do comprimento, teto plano e custos diferentes para chão, laterais e teto.

Passo 2

Definimos x como o comprimento, y como a largura e h como a altura. Da relação da largura, y=tfrac34x. Do volume x,y,h=30, substituindo y vem
34x^2,h=30Longrightarrow h=30cdot43x^2=40x^2

Passo 3

Calculamos as áreas:
  • Piso: Achão=x,y=tfrac34x^2ã
  • Teto: Ateto=tfrac34x^2
    - Laterais: duas faces xtimes h e duas ytimes h=tfrac34x,h, logo
    Alat=2xh+2cdottfrac34x,h=tfrac72x,h

Passo 4

O custo total é
C=36000,Achão+102000,Ateto+204000,Alatã

Passo 5

Substituindo as áreas e h=40/x^2 obtemos
C(x)=36000cdottfrac34x^2+102000cdottfrac34x^2+204000cdottfrac72xcdot40x^2=103500,x^2+28560000x

Passo 6

Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
C'(x)=207000,x-28560000x^2=0Longrightarrow x^3=28560000207000=138Longrightarrow xapprox5,17,m

Passo 7

Então
y=34xapprox3,88,m, h=40x^2approx1,50,m

Passo 8

A segunda derivada é positiva, confirmando mínimo.

Resposta

Comprimento ≈ 5,17 m, largura ≈ 3,88 m e altura ≈ 1,50 m.

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