Um construtor deseja construir um depósito com capacidade de
, teto plano, base retangular cuja largura é três quartos do comprimento. O custo por metro quadrado do material é de
para o chão,
para os lados e
para o teto. Que dimensões minimizam o custo?
Passo 1
No enunciado, precisamos construir um depósito de volume
, com base retangular cuja largura é
do comprimento, teto plano e custos diferentes para chão, laterais e teto.
Passo 2
Definimos
como o comprimento,
como a largura e
como a altura. Da relação da largura,
. Do volume
, substituindo
vem
Passo 3
Calculamos as áreas:
- Piso:
- Teto:
- Laterais: duas facese duas , logo
Passo 4
O custo total é
Passo 5
Substituindo as áreas e
obtemos
Passo 6
Para achar o mínimo, derivamos e igualamos a zero:
Passo 7
Então
Passo 8
A segunda derivada é positiva, confirmando mínimo.
Resposta
Comprimento ≈ 5,17 m, largura ≈ 3,88 m e altura ≈ 1,50 m.