Mostre que:
integral cos ^n x d x=1n cos ^n-1 x sin x+n-1n integral cos ^n-2 x d x
E use esta fórmula para calcular (14 cos ^3 x sin x+38 cos x sin x+38 x+C)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a integral de ordem n de coseno satisfaz uma fórmula de redução, usando integração por partes, e depois aplicar essa fórmula para calcular integralcos^4x,dx.
O conteúdo da matéria é redução de potências em integrais trigonométricas, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes.

Passo 2

Para derivar a fórmula de redução, considere a integral In=integralcos^n x,dx. Vamos separar cos^n x=cos^n-1xcdotcos x e aplicar integração por partes escolhendo:
u=cos^n-1x, então du=-(n-1)cos^n-2xsin x,dx, e
dv=cos x,dx, então v=sin x.
Pela fórmula integral u,dv=uv-integral v,du, temos:
In=cos^n-1xsin x -integral sin xl[-(n-1)cos^n-2xsin xr]dx
Isso fica
In=cos^n-1xsin x+(n-1)integralcos^n-2xsin^2x,dx

Passo 3

Usamos sin^2x=1-cos^2x dentro da integral:
In=cos^n-1xsin x+(n-1)integralcos^n-2x(1-cos^2x),dx
Distribuindo,
In=cos^n-1xsin x+(n-1)integralcos^n-2x,dx-(n-1)integralcos^n x,dx
Note que integralcos^n x,dx=In. Então deslocando o termo envolvendo In para o lado esquerdo:
In+(n-1)In=cos^n-1xsin x+(n-1)integralcos^n-2x,dx
portanto
nIn=cos^n-1xsin x+(n-1)integralcos^n-2x,dx
e isolando In obtemos a fórmula de redução:
integralcos^n x,dx=1ncos^n-1xsin x+n-1nintegralcos^n-2x,dx

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula para n=4. Denotando I4=integralcos^4x,dx, temos:
I4=14cos^3xsin x+34integralcos^2x,dx
Sabemos que integralcos^2x,dx=12(x+sin xcos x)+C. Então:
I4=14cos^3xsin x+34cdot12(x+sin xcos x)+C

Passo 5

Bastando simplificar os coeficientes:
I4=14cos^3xsin x+38x+38sin xcos x+C
Essa é a resposta final para integralcos^4x,dx.

Resposta

integralcos^4x,dx=14cos^3xsin x+38cos xsin x+38x+C

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