Mostre que:
E use esta fórmula para calcular
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a integral de ordem n de coseno satisfaz uma fórmula de redução, usando integração por partes, e depois aplicar essa fórmula para calcular
.
O conteúdo da matéria é redução de potências em integrais trigonométricas, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes.
O conteúdo da matéria é redução de potências em integrais trigonométricas, e vamos precisar usar a técnica de integração por partes.
Passo 2
Para derivar a fórmula de redução, considere a integral
. Vamos separar
e aplicar integração por partes escolhendo:
, então
, e
, então
.
Pela fórmula , temos:
Pela fórmula
Isso fica
Passo 3
Usamos
dentro da integral:
Distribuindo,
Note que
. Então deslocando o termo envolvendo
para o lado esquerdo:
portanto
e isolando
obtemos a fórmula de redução:
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula para
. Denotando
, temos:
Sabemos que
. Então:
Passo 5
Bastando simplificar os coeficientes:
Essa é a resposta final para
.