Expreesse
em termos de
e de
, onde
é um função derivável dada implicitamente pela equação:
Passo 1
Resumo do problema: temos a função implícita definida por 2x – √(xy) + y³ = 16. O conteúdo é diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação: derivada de constantes, de 2x, a regra da cadeia e do produto em √(xy) e a regra da cadeia em y³.
Passo 2
Derivação implícita: derivando cada termo em relação a x, obtemos
Aqui usamos d(√(xy))/dx = \tfrac12(xy)^{-1/2}·d(xy)/dx e d(xy)/dx = y + x y’.
Passo 3
Isolamento de y’: reorganizando os termos para agrupar os que contêm y’ e os que não contêm, temos
ou seja
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Passo 4
Simplificação final: multiplicando numerador e denominador por 2√(xy) para limpar as frações, obtemos