Expreesse d yd x em termos de x e de y, onde y=f(x) é um função derivável dada implicitamente pela equação:
2 x-raizx y+y^3=16

Passo 1

Resumo do problema: temos a função implícita definida por 2x – √(xy) + y³ = 16. O conteúdo é diferenciação implícita. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação: derivada de constantes, de 2x, a regra da cadeia e do produto em √(xy) e a regra da cadeia em y³.

Passo 2

Derivação implícita: derivando cada termo em relação a x, obtemos
2 - 12(xy)^-1/2l(y + x,y'r) + 3y^2,y' = 0
Aqui usamos d(√(xy))/dx = \tfrac12(xy)^{-1/2}·d(xy)/dx e d(xy)/dx = y + x y’.

Passo 3

Isolamento de y’: reorganizando os termos para agrupar os que contêm y’ e os que não contêm, temos
-x2raizxyy' + 3y^2y' + 2 - y2raizxy = 0
ou seja
y'l(3y^2 - x2raizxyr) + l(2 - y2raizxyr) = 0
Logo
y' = tfracy2raizxy - 2-tfracx2raizxy + 3y^2

Passo 4

Simplificação final: multiplicando numerador e denominador por 2√(xy) para limpar as frações, obtemos
y' = y - 4raizxy-x + 6y^2raizxy = 4raizxy - yx - 6y^2raizxy

Resposta

y' = 4raizxy - yx - 6y^2raizxy

Exercícios relacionados