O construtor A realiza a primeira parte de uma obra e o construtor B termina-a. B não pode começar até que A termine. A deve completar a sua parte até 31 de Outubro e B até 31 de Dezembro. A probabilidade de A e B cumprirem (simultaneamente) os seus prazos é 0.6. Se A se atrasar, B tem uma probabilidade de 0.2 de terminar o projecto a tempo. Sabendo que a probabilidade de A cumprir o prazo é três vezes maior do que a probabilidade de o não cumprir, determine a probabilidade de a obra ficar terminada a 31 de Dezembro.

Passo 1

Beleza, aqui o que tá rolando: o construtor A faz a primeira parte até 31 de Outubro e o B só começa depois, terminando até 31 de Dezembro. A gente sabe que
  • a probabilidade de A e B entregarem juntos dentro do prazo é ,
  • se A atrasar, B ainda tem de chance de terminar a tempo,
  • e que a chance de A ser pontual é três vezes maior que de A atrasar.
    O assunto que vamos usar é probabilidade condicional e a regra da probabilidade total. Precisamos achar a probabilidade de o projeto TODO ficar pronto até 31 de Dezembro.

Passo 2

Primeiro, bora chamar
p = P(A entrega no prazo), q = P(A atrasa)
Pelo enunciado, e claro . Isso é só um sisteminha linear.

Passo 3

Resolvendo aquele sisteminha:
p + q = 1, p = 3q
Substituindo 3q + q = 1 ;Longrightarrow; 4q = 1 ;Longrightarrow; q = tfrac14 na primeira:
p = 1 - q = 1 - tfrac14 = tfrac34
Então

Passo 4

Agora a gente sabe que
P(A e B) = 0,6 = P(A),P(Bmid A),
logo
P(Bmid A) = 0,6P(A) = 0,6tfrac34 = 0,8
Isto é, se A entregar certinho, B tem 80% de chance de também entregar a tempo.

Passo 5

Para achar a probabilidade de o projeto TERMINAR até 31 de Dezembro, usamos a regra da probabilidade total:
P(projeto pronto) = P(A),P(Bmid A) + P(A atrasa),P(Bmid A atrasa)
Substituindo os valores que já temos:
P(pronto) = tfrac34 cdot 0,8 + tfrac14 cdot 0,2 = 0,75 times 0,8 + 0,25 times 0,2 = 0,6 + 0,05 = 0,65

Resposta

A probabilidade de a obra ficar terminada até 31 de Dezembro é 0,65 (ou 65%).

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