Uma empresa de controle de qualidade inspecionou 150 peças de concreto pré-moldado e encontrou 18 peças com defeitos estruturais que comprometem sua utilização. Com base nessa amostra, construa os seguintes intervalos de confiança para a proporção populacional (
) de peças defeituosas:
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de
%
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de
Passo 1
O enunciado dá uma amostra de
peças, com
peças defeituosas, e pede um intervalo de confiança unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para a proporção populacional
com nível de confiança de
.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- Tamanho da amostra:
. - Número de defeituosas na amostra:
. - Proporção amostral:
(vamos calcular no próximo passo). - Queremos um intervalo unilateral inferior de
: isto significa encontrar tal que o intervalo de confiança seja e que a confiança de que esteja nesse intervalo seja .
Passo 2
Escolha do método e condições de uso (por que usar aproximação normal):
- Um método simples e usual é a aproximação normal (intervalo Wald) para proporções, que usa a distribuição normal para a estatística centrada em
. - Essa aproximação costuma ser razoável quando
e são ambos maiores que cerca de . Aqui e , ambos maiores que , então a aproximação normal é aceitável para construir um limite inferior aproximado. - Fórmula que vamos usar (Wald unilateral inferior):
onde
é o nível de significância para uma cauda (para confiança
),
é o quantil da normal padrão e
é a proporção amostral. Vou explicar detalhadamente cada termo no próximo passo.
Passo 3
Explicando a fórmula e o significado das variáveis:
-
é a proporção observada na amostra. Representa nossa melhor estimativa pontual de . -
é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral), que mede a variabilidade típica de entre amostras de tamanho . -
é o quantil superior da distribuição normal padrão. Para um intervalo unilateral inferior com nível de confiança , usa-se (por exemplo, para de confiança, e ). - Interpretação: subtrai-se do estimador
um múltiplo do erro padrão (o múltiplo é ) para obter o limite inferior que, sob o modelo, captura com probabilidade .
Passo 4
Calcular a proporção amostral
:
Passo 5
Calcular o erro padrão
passo a passo:
Passo 6
Determinar o quantil
para um intervalo unilateral de
:
- Aqui
, então . - O quantil da normal padrão correspondente a
é . (Significa que para .)
Passo 7
Calcular a margem (o termo subtraído de
):
Passo 8
Calcular o limite inferior
:
Se necessário, garantir que
não seja menor que
(aqui não é).
Passo 9
Interpretação e forma final do intervalo unilateral:
- O intervalo unilateral limitado por um mínimo com
de confiança é . - Numericamente, usando os cálculos acima, esse intervalo é aproximadamente
. - Interpretação prática (em linguagem coloquial): com
de confiança, podemos afirmar que a proporção real de peças defeituosas é pelo menos cerca de .