Uma empresa de controle de qualidade inspecionou 150 peças de concreto pré-moldado e encontrou 18 peças com defeitos estruturais que comprometem sua utilização. Com base nessa amostra, construa os seguintes intervalos de confiança para a proporção populacional ( \pi) de peças defeituosas:
Intervalo unilateral limitado por um mínimo com nível de confiança de 90%

Passo 1

O enunciado dá uma amostra de n=150 peças, com x=18 peças defeituosas, e pede um intervalo de confiança unilateral limitado por um mínimo (ou seja, um limite inferior) para a proporção populacional \pi com nível de confiança de 90\%.
Informações relevantes:
  • Tamanho da amostra: n=150.
  • Número de defeituosas na amostra: x=18.
  • Proporção amostral: \hat{p}=\dfrac{x}{n} (vamos calcular no próximo passo).
  • Queremos um intervalo unilateral inferior de 90\%: isto significa encontrar L tal que o intervalo de confiança seja [L,\,1] e que a confiança de que \pi esteja nesse intervalo seja 90\%.

Passo 2

Escolha do método e condições de uso (por que usar aproximação normal):
  • Um método simples e usual é a aproximação normal (intervalo Wald) para proporções, que usa a distribuição normal para a estatística centrada em \hat{p}.
  • Essa aproximação costuma ser razoável quando n\hat{p} e n(1-\hat{p}) são ambos maiores que cerca de 5. Aqui n\hat{p}=18 e n(1-\hat{p})=132, ambos maiores que 5, então a aproximação normal é aceitável para construir um limite inferior aproximado.
  • Fórmula que vamos usar (Wald unilateral inferior):
L=\hat{p}-z_{1-\alpha}\sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}},
onde \alpha é o nível de significância para uma cauda (para confiança 1-\alpha), z_{1-\alpha} é o quantil da normal padrão e \hat{p} é a proporção amostral. Vou explicar detalhadamente cada termo no próximo passo.

Passo 3

Explicando a fórmula e o significado das variáveis:
  • \hat{p}=\dfrac{x}{n} é a proporção observada na amostra. Representa nossa melhor estimativa pontual de \pi.
  • \sqrt{\dfrac{\hat{p}\,(1-\hat{p})}{n}} é o erro padrão (desvio padrão da proporção amostral), que mede a variabilidade típica de \hat{p} entre amostras de tamanho n.
  • z_{1-\alpha} é o quantil superior da distribuição normal padrão. Para um intervalo unilateral inferior com nível de confiança 1-\alpha, usa-se z_{1-\alpha} (por exemplo, para 90\% de confiança, \alpha=0,10 e z_{1-\alpha}=z_{0,90}).
  • Interpretação: subtrai-se do estimador \hat{p} um múltiplo do erro padrão (o múltiplo é z_{1-\alpha}) para obter o limite inferior que, sob o modelo, captura \pi com probabilidade 1-\alpha.

Passo 4

Calcular a proporção amostral \hat{p}:
\hat{p}=\dfrac{x}{n}=\dfrac{18}{150}=0,12.

Passo 5

Calcular o erro padrão \sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} passo a passo:
\hat{p}(1-\hat{p})=0,12\cdot(1-0,12)=0,12\cdot0,88=0,1056.
\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}=\dfrac{0,1056}{150}=0,000704.
\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}=\sqrt{0,000704}\approx0,02653.

Passo 6

Determinar o quantil z_{1-\alpha} para um intervalo unilateral de 90\%:
  • Aqui 1-\alpha=0,90, então \alpha=0,10.
  • O quantil da normal padrão correspondente a 0,90 é z_{0,90}\approx1,2816. (Significa que \Pr(Z\le z_{0,90})=0,90 para Z\sim N(0,1).)

Passo 7

Calcular a margem (o termo subtraído de \hat{p}):
\text{margem}=z_{0,90}\cdot\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\approx1,2816\cdot0,02653\approx0,03400.

Passo 8

Calcular o limite inferior L:
L=\hat{p}-\text{margem}=0,12-0,03400\approx0,08600.
Se necessário, garantir que L não seja menor que 0 (aqui não é).

Passo 9

Interpretação e forma final do intervalo unilateral:
  • O intervalo unilateral limitado por um mínimo com 90\% de confiança é [L,\,1].
  • Numericamente, usando os cálculos acima, esse intervalo é aproximadamente [0,086,\,1].
  • Interpretação prática (em linguagem coloquial): com 90\% de confiança, podemos afirmar que a proporção real de peças defeituosas \pi é pelo menos cerca de 8{,}6\%.

Resposta

[0,086,\,1]

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