Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20 . Qual a probabilidade de o número escolhido:
ser primo?
ser primo?
Passo 1
O enunciado dá que um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de
a
. Ou seja, o espaço amostral é
A pergunta é: qual a probabilidade de o número escolhido ser primo?
Passo 2
Conceito básico de probabilidade que vamos usar:
- Se todos os resultados em
são igualmente prováveis, a probabilidade do evento (escolher um número primo) é
onde
é o número de resultados favoráveis (números primos) e
é o número total de resultados possíveis. Aqui
.
Passo 3
Definição e como testar primos (pequena aula prática):
- Um número inteiro
é primo se tem exatamente dois divisores positivos: e . - O número
não é primo (tem só um divisor). - Para testar se um
pequeno é primo, basta verificar se ele é divisível por algum primo menor ou igual a . Para basta testar divisibilidade por , e (porque e os primos até esse valor são e ; testar por é prático para evitar erros em etc.). - Regras rápidas de divisibilidade usadas: se o último dígito é par, é divisível por
; se a soma dos dígitos é múltipla de , é divisível por ; termina em ou divisível por .
Passo 4
Identificação dos números primos entre
e
, testando um a um brevemente:
-
: não é primo (tem só um divisor). -
: primo (divisores e ). É o único primo par. -
: primo (divisores e ). -
: composto, pois . -
: primo. -
: composto, . -
: primo. -
: composto, . -
: composto, . -
: composto, termina em ( ). -
: primo. -
: composto, . -
: primo. -
: composto, . -
: composto, . -
: composto, . -
: primo. -
: composto, . -
: primo. -
: composto, .
Passo 5
Listando os primos encontrados:
Contando:
números primos no conjunto
.
Passo 6
Cálculo da probabilidade:
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por
:
Como decimal e porcentagem:
Passo 7
Dica rápida para a prova: decorar os primos até
(ou usar a Crivo de Eratóstenes mentalmente) é muito útil — são apenas
. Força aí, você já foi até o final da conta!