Um número é escolhido ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20 . Qual a probabilidade de o número escolhido:
ser primo?

Passo 1

O enunciado dá que um número é escolhido ao acaso entre os inteiros de 1 a 20. Ou seja, o espaço amostral é
S = \{1,2,\dots,20\}.
A pergunta é: qual a probabilidade de o número escolhido ser primo?

Passo 2

Conceito básico de probabilidade que vamos usar:
  • Se todos os resultados em S são igualmente prováveis, a probabilidade do evento A (escolher um número primo) é
P(A)=\frac{|A|}{|S|},
onde |A| é o número de resultados favoráveis (números primos) e |S| é o número total de resultados possíveis. Aqui |S|=20.

Passo 3

Definição e como testar primos (pequena aula prática):
  • Um número inteiro n>1 é primo se tem exatamente dois divisores positivos: 1 e n.
  • O número 1 não é primo (tem só um divisor).
  • Para testar se um n pequeno é primo, basta verificar se ele é divisível por algum primo menor ou igual a \sqrt{n}. Para n\le20 basta testar divisibilidade por 2, 3 e 5 (porque \sqrt{20}\approx4,47 e os primos até esse valor são 2 e 3; testar por 5 é prático para evitar erros em 5,15 etc.).
  • Regras rápidas de divisibilidade usadas: se o último dígito é par, é divisível por 2; se a soma dos dígitos é múltipla de 3, é divisível por 3; termina em 0 ou 5 \Rightarrow divisível por 5.

Passo 4

Identificação dos números primos entre 1 e 20, testando um a um brevemente:
  • 1: não é primo (tem só um divisor).
  • 2: primo (divisores 1 e 2). É o único primo par.
  • 3: primo (divisores 1 e 3).
  • 4: composto, pois 4=2\cdot2.
  • 5: primo.
  • 6: composto, 6=2\cdot3.
  • 7: primo.
  • 8: composto, 8=2\cdot4.
  • 9: composto, 9=3\cdot3.
  • 10: composto, termina em 0 ( 2\cdot5).
  • 11: primo.
  • 12: composto, 2\cdot6.
  • 13: primo.
  • 14: composto, 2\cdot7.
  • 15: composto, 3\cdot5.
  • 16: composto, 2\cdot8.
  • 17: primo.
  • 18: composto, 2\cdot9.
  • 19: primo.
  • 20: composto, 2\cdot10.

Passo 5

Listando os primos encontrados:
\{2,3,5,7,11,13,17,19\}.
Contando: |A|=8 números primos no conjunto S.

Passo 6

Cálculo da probabilidade:
P(A)=\frac{|A|}{|S|}=\frac{8}{20}.
Simplificando a fração dividindo numerador e denominador por 4:
\frac{8}{20}=\frac{8\div4}{20\div4}=\frac{2}{5}.
Como decimal e porcentagem:
\frac{2}{5}=0,4=40\%.

Passo 7

Dica rápida para a prova: decorar os primos até 20 (ou usar a Crivo de Eratóstenes mentalmente) é muito útil — são apenas 2,3,5,7,11,13,17,19. Força aí, você já foi até o final da conta!

Resposta

\dfrac{2}{5}
0,4
40\%

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