(CONSULPAM - 2025) Em uma pesquisa realizada pelo setor de planejamento estratégico de um órgão público, foi estimado que o tempo médio de atendimento ao cidadão é de 18,5 minutos. Com base em uma amostra aleatória de 64 atendimentos, e assumindo que o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 4 minutos, foi construído um intervalo de confiança de
para a média populacional, utilizando a distribuição normal padrão.
Nesse sentido, assinale a única alternativa CORRETA quanto ao impacto da amplitude do intervalo e à precisão da estimativa da média populacional.
a) Se o nível de confiança fosse reduzido para
, a amplitude do intervalo aumentaria, tornando a estimativa mais conservadora.
b) A amplitude do intervalo depende apenas da variância populacional, sendo indiferente ao tamanho da amostra ou ao nível de confiança.
c) Aumentar o tamanho da amostra reduz a amplitude do intervalo de confiança, aumentando a precisão da estimativa da média populacional.
d) Se a média amostral fosse maior, a amplitude do intervalo também aumentaria, pois a função normal se desloca para a direita.
Nesse sentido, assinale a única alternativa CORRETA quanto ao impacto da amplitude do intervalo e à precisão da estimativa da média populacional.
a) Se o nível de confiança fosse reduzido para
b) A amplitude do intervalo depende apenas da variância populacional, sendo indiferente ao tamanho da amostra ou ao nível de confiança.
c) Aumentar o tamanho da amostra reduz a amplitude do intervalo de confiança, aumentando a precisão da estimativa da média populacional.
d) Se a média amostral fosse maior, a amplitude do intervalo também aumentaria, pois a função normal se desloca para a direita.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Dados fornecidos (pego do enunciado):
- Tempo médio estimado (amostra):
minutos. - Tamanho da amostra:
. - Desvio padrão populacional conhecido:
minutos. - Intervalo de confiança construído: nível de confiança
, usando a distribuição normal padrão.
- Tempo médio estimado (amostra):
- O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) está CORRETA sobre o impacto na amplitude do intervalo e na precisão da estimativa da média populacional.
Passo 2
Relembrando a fórmula do intervalo de confiança para a média quando
é conhecida (essa é a teoria que vamos usar passo a passo):
Explicando cada símbolo:
-
é a média amostral (centro do intervalo). -
é o desvio padrão populacional (aqui conhecido). -
é o tamanho da amostra. -
é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é . Por exemplo, para de confiança, e usamos . - O termo
é a margem de erro (meio da amplitude). A amplitude (largura total) do intervalo é o dobro disso:
Passo 3
Calcular valores numéricos com os dados dados para ter intuição prática (contas fáceis que você pode reproduzir na prova):
- Primeiro o erro padrão:
- Para
de confiança usamos . O valor tabelado é aproximadamente
- Margem de erro (meio da amplitude):
- Amplitude (largura total):
Guardando isso como referência numérica.
Passo 4
Avaliação da alternativa (a):
- A alternativa (a) diz: “Se o nível de confiança fosse reduzido para
, a amplitude do intervalo aumentaria, tornando a estimativa mais conservadora.” - Matemática: diminuir o nível de confiança diminui
, portanto aumenta e reduz o quantil . Por exemplo, para de confiança temos . - Calculo numérico para
: erro padrão continua , então
- Comparando:
é menor que . Ou seja, reduzir o nível de confiança de para torna o intervalo MAIS estreito (não mais largo). - Conclusão: a afirmação (a) está ERRADA. Intuição: menor confiança = menos “conservador” = intervalo mais estreito.
Passo 5
Avaliação da alternativa (b):
- A alternativa (b) diz: “A amplitude do intervalo depende apenas da variância populacional, sendo indiferente ao tamanho da amostra ou ao nível de confiança.”
- Pela fórmula da amplitude:
fica claro que a amplitude depende de três fatores:
(variabilidade),
(tamanho da amostra) e
(nível de confiança). Logo não depende apenas da variância.
- Conclusão: (b) está ERRADA.
Passo 6
Avaliação da alternativa (c):
- A alternativa (c) diz: “Aumentar o tamanho da amostra reduz a amplitude do intervalo de confiança, aumentando a precisão da estimativa da média populacional.”
- Pela fórmula, a dependência com
é por . Assim, se cresce, diminui e a amplitude diminui em consequência direta. Exemplo numérico: se aumentássemos de para , então e
e a amplitude (mantendo
e
) seria
que é metade da amplitude original — claramente menor.
- Menor amplitude = estimativa mais precisa (o intervalo é mais estreito em torno da média).
- Conclusão: (c) está CORRETA.
Passo 7
Avaliação da alternativa (d):
- A alternativa (d) diz: “Se a média amostral fosse maior, a amplitude do intervalo também aumentaria, pois a função normal se desloca para a direita.”
- Observação pela fórmula:
só aparece no centro do intervalo; a amplitude é determinada por , que não depende de . A média amostral desloca o intervalo inteira (centra em outro ponto), mas não muda sua largura. - Intuição: mover o centro para a direita não estica o intervalo, apenas muda onde ele fica.
- Conclusão: (d) está ERRADA.
Passo 8
Conclusão final combinando as avaliações anteriores:
- (a) falsa, (b) falsa, (c) verdadeira, (d) falsa.
- Logo a única alternativa correta é a (c).
Resposta
c)