(CONSULPAM - 2025) Em uma pesquisa realizada pelo setor de planejamento estratégico de um órgão público, foi estimado que o tempo médio de atendimento ao cidadão é de 18,5 minutos. Com base em uma amostra aleatória de 64 atendimentos, e assumindo que o desvio padrão populacional é conhecido e igual a 4 minutos, foi construído um intervalo de confiança de 99 \% para a média populacional, utilizando a distribuição normal padrão.
Nesse sentido, assinale a única alternativa CORRETA quanto ao impacto da amplitude do intervalo e à precisão da estimativa da média populacional.
a) Se o nível de confiança fosse reduzido para 90 \%, a amplitude do intervalo aumentaria, tornando a estimativa mais conservadora.
b) A amplitude do intervalo depende apenas da variância populacional, sendo indiferente ao tamanho da amostra ou ao nível de confiança.
c) Aumentar o tamanho da amostra reduz a amplitude do intervalo de confiança, aumentando a precisão da estimativa da média populacional.
d) Se a média amostral fosse maior, a amplitude do intervalo também aumentaria, pois a função normal se desloca para a direita.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Dados fornecidos (pego do enunciado):
    • Tempo médio estimado (amostra): \bar{x}=18{,}5 minutos.
    • Tamanho da amostra: n=64.
    • Desvio padrão populacional conhecido: \sigma=4 minutos.
    • Intervalo de confiança construído: nível de confiança 99\%, usando a distribuição normal padrão.
  • O que o enunciado pede: identificar qual das alternativas (a), (b), (c) ou (d) está CORRETA sobre o impacto na amplitude do intervalo e na precisão da estimativa da média populacional.

Passo 2

Relembrando a fórmula do intervalo de confiança para a média quando \sigma é conhecida (essa é a teoria que vamos usar passo a passo):
\text{o intervalo de }(1-\alpha)\times 100\% \text{ é } \bar{x}\pm z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.é
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (centro do intervalo).
  • \sigma é o desvio padrão populacional (aqui conhecido).
  • n é o tamanho da amostra.
  • z_{1-\alpha/2} é o quantil da distribuição normal padrão tal que a área à direita é \alpha/2. Por exemplo, para 99\% de confiança, \alpha=0{,}01 e usamos z_{0{,}995}.
  • O termo z_{1-\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} é a margem de erro (meio da amplitude). A amplitude (largura total) do intervalo é o dobro disso:
\text{amplitude} = 2\,z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Calcular valores numéricos com os dados dados para ter intuição prática (contas fáceis que você pode reproduzir na prova):
  • Primeiro o erro padrão:
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{\sqrt{64}}=\frac{4}{8}=0{,}5.
  • Para 99\% de confiança usamos z_{0{,}995}. O valor tabelado é aproximadamente
z_{0{,}995}\approx 2{,}5758.
  • Margem de erro (meio da amplitude):
\text{margem} = z_{0{,}995}\cdot 0{,}5 \approx 2{,}5758\cdot 0{,}5 \approx 1{,}2879.
  • Amplitude (largura total):
\text{amplitude}_{99\%}=2\cdot 1{,}2879 \approx 2{,}5758.
Guardando isso como referência numérica.

Passo 4

Avaliação da alternativa (a):
  • A alternativa (a) diz: “Se o nível de confiança fosse reduzido para 90\%, a amplitude do intervalo aumentaria, tornando a estimativa mais conservadora.”
  • Matemática: diminuir o nível de confiança diminui (1-\alpha), portanto aumenta \alpha e reduz o quantil z_{1-\alpha/2}. Por exemplo, para 90\% de confiança temos z_{0{,}95}\approx 1{,}6449.
  • Calculo numérico para 90\%: erro padrão continua 0{,}5, então
\text{amplitude}_{90\%}=2\cdot z_{0{,}95}\cdot 0{,}5 \approx 2\cdot 1{,}6449\cdot 0{,}5 \approx 1{,}6449.
  • Comparando: \text{amplitude}_{90\%}\approx 1{,}6449 é menor que \text{amplitude}_{99\%}\approx 2{,}5758. Ou seja, reduzir o nível de confiança de 99\% para 90\% torna o intervalo MAIS estreito (não mais largo).
  • Conclusão: a afirmação (a) está ERRADA. Intuição: menor confiança = menos “conservador” = intervalo mais estreito.

Passo 5

Avaliação da alternativa (b):
  • A alternativa (b) diz: “A amplitude do intervalo depende apenas da variância populacional, sendo indiferente ao tamanho da amostra ou ao nível de confiança.”
  • Pela fórmula da amplitude:
\text{amplitude}=2\,z_{1-\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
fica claro que a amplitude depende de três fatores: \sigma (variabilidade), n (tamanho da amostra) e z_{1-\alpha/2} (nível de confiança). Logo não depende apenas da variância.
  • Conclusão: (b) está ERRADA.

Passo 6

Avaliação da alternativa (c):
  • A alternativa (c) diz: “Aumentar o tamanho da amostra reduz a amplitude do intervalo de confiança, aumentando a precisão da estimativa da média populacional.”
  • Pela fórmula, a dependência com n é por \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Assim, se n cresce, \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} diminui e a amplitude diminui em consequência direta. Exemplo numérico: se aumentássemos n de 64 para 256, então \sqrt{256}=16 e
\frac{\sigma}{\sqrt{n}}=\frac{4}{16}=0{,}25
e a amplitude (mantendo 99\% e z_{0{,}995}) seria
\text{amplitude}=2\cdot 2{,}5758\cdot 0{,}25\approx 1{,}2879,
que é metade da amplitude original — claramente menor.
  • Menor amplitude = estimativa mais precisa (o intervalo é mais estreito em torno da média).
  • Conclusão: (c) está CORRETA.

Passo 7

Avaliação da alternativa (d):
  • A alternativa (d) diz: “Se a média amostral fosse maior, a amplitude do intervalo também aumentaria, pois a função normal se desloca para a direita.”
  • Observação pela fórmula: \bar{x} só aparece no centro do intervalo; a amplitude é determinada por 2\,z_{1-\alpha/2}\,\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}, que não depende de \bar{x}. A média amostral desloca o intervalo inteira (centra em outro ponto), mas não muda sua largura.
  • Intuição: mover o centro para a direita não estica o intervalo, apenas muda onde ele fica.
  • Conclusão: (d) está ERRADA.

Passo 8

Conclusão final combinando as avaliações anteriores:
  • (a) falsa, (b) falsa, (c) verdadeira, (d) falsa.
  • Logo a única alternativa correta é a (c).

Resposta

c)

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