(2,0) O consumidor de um certo produto acusou o fabricante, dizendo que mais de 20 \% das unidades fabricadas apresentam defeito. Para confirmar sua acusação, ele usou uma amostra de tamanho 50 , onde \mathbf{2 7 \%} das peças eram defeituosas. Construa um intervalo de confiança para esse argumento. Utike um nivel de significancia de 5 \%. Lembre-se de comentar a conclusäo, baseando-se no problema.

Passo 1

O enunciado diz que, numa amostra de tamanho n=50, a proporção observada de peças defeituosas é \hat p=0,27. Queremos construir um intervalo de confiança para a proporção populacional p com nível de significância \alpha=0,05 (ou nível de confiança de 1-\alpha=95\%). Vamos usar a aproximação normal para proporções.

Passo 2

Identificamos os valores:
n = 50, \quad \hat p = 0,27, \quad 1-\alpha = 0,95.

Passo 3

Para um nível de confiança de 95\%, o quantil crítico da normal padrão é
z_{1-\frac\alpha2} = z_{0,975} \approx 1,96.

Passo 4

O erro padrão de \hat p é
\text{SE}(\hat p) = \sqrt{\frac{\hat p\,(1-\hat p)}{n}} = \sqrt{\frac{0,27 \times 0,73}{50}} \approx 0,0628.

Passo 5

A margem de erro fica
E = z_{0,975}\,\text{SE}(\hat p) \approx 1,96 \times 0,0628 \approx 0,1231.

Passo 6

O intervalo de confiança a 95\% para p é
\hat p \pm E \;\Longrightarrow\; 0,27 \pm 0,1231 \;\Longrightarrow\; [\,0,27 - 0,1231,\;0,27 + 0,1231\,] \approx [\,0,147,\;0,393\,].

Passo 7

Como o valor 0,20 (ou 20\%) está dentro do intervalo [\,0,147;\,0,393], não temos evidência estatística ao nível de 5\% para afirmar que a proporção real de defeitos seja maior que 20\%. Ou seja, não podemos confirmar a acusação do consumidor com essa amostra.

Resposta

O intervalo de confiança a 95\% para a proporção de peças defeituosas é aproximadamente
[\,0,147;\;0,393\,]
(ou em porcentagem, de 14{,}7\% a 39{,}3\%). Como 20\% está dentro desse intervalo, não há evidência suficiente, ao nível de 5\%, para concluir que mais de 20\% das unidades apresentam defeito.

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