A utilidade que João obtém decorrente de assistir jogos de futebol, F , e shows de rock and roll, R, é dada pela função de utilidade U(F, R)=10 F R. Além disso, temos que um ingresso para jogo de futebol tem preço médio de \ 100 e um ingresso para show de rock and roll,$400 . Por fim, sabemos que João costuma alocar uma verba anual deã$ 4.000$ para consumir jogos de futebol e shows de rock.
a) Trace a curva de indiferença associada a uma utilidade de 800 e a curva de indiferença associada a uma utilidade de 1.200.
b) No mesmo gráfico, trace a linha do orçamento de João.
c) Entre partidas de futebol e shows de rock and roll, descubra a escolha que maximiza a satisfação de João.
d) O que poderia mudar a escolha ótima de João? Discuta cada fator.

Passo 1

O enunciado apresenta a função de utilidade de João em partidas de futebol F e shows de rock R, dada por
U(F,R)=10\,F\,R
e a restrição orçamentária
100\,F+400\,R=4000.
Precisamos (a) traçar as curvas de indiferença para U=800 e U=1200, (b) traçar a reta orçamentária, (c) encontrar o F e R que maximizam U sujeito ao orçamento, e (d) discutir fatores que podem alterar essa escolha.

Passo 2

Para cada utilidade alvo \bar U as curvas de indiferença satisfazem
10\,F\,R=\bar U
Assim,
– Para \bar U=800:
10\,F\,R=800 \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{800}{10\,F}=\frac{80}{F}.
– Para \bar U=1200:
10\,F\,R=1200 \quad\Longrightarrow\quad R=\frac{1200}{10\,F}=\frac{120}{F}.

Passo 3

Da restrição orçamentária
100\,F+400\,R=4000
isolamos R:
R=\frac{4000-100\,F}{400} =10-\frac{1}{4}\,F.

Passo 4

Para maximizar U sob a reta orçamentária usamos a condição de tangência entre curva de indiferença e orçamento, isto é
\frac{MU_{F}}{MU_{R}} =\frac{p_{F}}{p_{R}}.
Aqui
MU_{F}=\frac{\partial U}{\partial F}=10\,R, \quad MU_{R}=\frac{\partial U}{\partial R}=10\,F,
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\frac{MU_{F}}{MU_{R}} =\frac{10\,R}{10\,F} =\frac{R}{F} \quad\overset{!}{=}\quad \frac{p_{F}}{p_{R}} =\frac{100}{400} =\tfrac{1}{4} \;\Longrightarrow\; R=\frac{F}{4}.
Substituindo na reta orçamentária R=10-\tfrac14F:
\frac{F}{4}=10-\frac{F}{4} \quad\Longrightarrow\quad \frac{F}{2}=10 \quad\Longrightarrow\quad F=20,
e então
R=\frac{20}{4}=5.

Passo 5

Mudanças que poderiam alterar a escolha ótima:
  1. Variação da renda 4000: desloca a reta orçamentária paralelamente, mudando o ponto de tangência.
  2. Variação dos preços 100 ou 400: gira a reta orçamentária (altera sua inclinação), modificando o consumo ótimo.
  3. Mudança das preferências (forma da U(F,R)): altera a curvatura das curvas de indiferença e, consequentemente, o ponto de tangência.

Resposta

a) Curvas de indiferença
U=800:\;R=\frac{80}{F}, \qquad U=1200:\;R=\frac{120}{F}.
b) Reta orçamentária
100\,F+400\,R=4000 \quad\Longrightarrow\quad R=10-\tfrac{1}{4}F.
c) Consumo ótimo
(F^*,R^*)=(20,5).
d) Qualquer variação na renda, nos preços dos ingressos ou nas preferências (função de utilidade) mudaria a escolha ótima de João.

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