Suponha um consumidor cujas preferências podem ser representadas por uma função de utilidade do tipo Cobb-Douglas: \mathrm{U}\left(\mathrm{x}_{1}, \mathrm{x}_{2}\right)=x_{1}^{0,3} x_{2}^{0,7}. Com base nessa informação sobre as preferências do consumidor, pede-se:
Considerando renda constante e igual a \mathrm{R} \ 1.000,00 e preço do produto 2 constante e igual a Rç4,00, calcule as cestas ótimas de consumo supondo que o preço do produto 2 aumentou para R 2,50 em um primeiro momento (t1), para R 3,00 em um segundo momento (t2) e para R$ 3,5 em um terceiro momento (t3).

Passo 1

O consumidor tem utilidade do tipo Cobb–Douglas
U(x_{1},x_{2}) = x_{1}^{0,3}\,x_{2}^{0,7}
e renda R = 1000. Supondo que o preço do bem 1 é constante em p_{1}=4 e o preço do bem 2 varia em três momentos t_{1},t_{2},t_{3}, queremos achar as cestas ótimas (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) em cada momento.

Passo 2

Para utilidade Cobb–Douglas com expoentes \alpha=0,3 e \beta=0,7, as demandas marshallianas são
x_{1}^{*} \;=\;\frac{\alpha\,R}{p_{1}} \quad\text{e}\quad x_{2}^{*} \;=\;\frac{\beta\,R}{p_{2}}.
Aqui x_{1}^{*} não depende de p_{2} e x_{2}^{*} não depende de p_{1}.

Passo 3

No instante t_{1} o preço do bem 2 é
p_{2}^{(1)} = 2{,}50.
Calculando
x_{1}^{*} = \frac{0,3 \times 1000}{4} = \frac{300}{4} = 75, \qquad x_{2}^{*} = \frac{0,7 \times 1000}{2{,}50} = \frac{700}{2{,}5} = 280.

Passo 4

No instante t_{2} o preço do bem 2 é
p_{2}^{(2)} = 3{,}00.
Calculando
x_{1}^{*} = 75 \quad\text{(permanece igual)}
x_{2}^{*} = \frac{700}{3} \approx 233{,}33.

Passo 5

No instante t_{3} o preço do bem 2 é
p_{2}^{(3)} = 3{,}50.
Calculando
x_{1}^{*} = 75, \qquad x_{2}^{*} = \frac{700}{3{,}5} = 200.

Resposta

t_{1}: (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) = (75,\,280) t_{2}: (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) = (75,\,233{,}33) t_{3}: (x_{1}^{*},x_{2}^{*}) = (75,\,200)

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