Um consumidor requer que a fração de itens defeituosos nos lotes de peças fabricadas pelo fornedor seja inferior a 5% (H1:p<0,05). Em uma amostra de 200 peças, foram detectados 5 itens defeituosos. Qual o valor do p-crítico para um alfa de 3 \% ? A hipótese Ho é aceita ou rejeitada?
2,1%, aceita
2,5%, aceita
2,1%, rejeita
todas respostas incorretas
1%, rejeita

Passo 1

O enunciado descreve um teste de hipótese para proporção, unilateral à esquerda, com
H_0: p = 0,05 \quad\text{e}\quad H_1: p < 0,05,
tamanho de amostra n = 200, nível de significância \alpha = 0,03. Precisamos determinar o valor crítico da proporção amostral \hat p (o “p-crítico”) e decidir aceitar ou rejeitar H_0.

Passo 2

Sob H_0, a estatística \hat p é aproximada por distribuição normal com média p_0=0,05 e desvio-padrão
\sigma_{\hat p} = \sqrt{\frac{p_0(1-p_0)}{n}} = \sqrt{\frac{0,05\cdot 0,95}{200}} \approx 0,015412.

Passo 3

Como é teste à esquerda com \alpha=0,03, o escore crítico z_{\alpha} satisfaz
P(Z \le z_{\alpha}) = 0,03 \quad\Longrightarrow\quad z_{\alpha} \approx -1,8808.

Passo 4

Convertendo esse z_{\alpha} em proporção crítica:
\hat p_{\text{crítico}} = p_0 + z_{\alpha}\,\sigma_{\hat p} = 0,05 + (-1,8808)\times 0,015412 \approx 0,0210\quad(\text{ou }2,10\%).í

Passo 5

A proporção observada é
\hat p = \frac{5}{200} = 0,025\;(2,5\%),
que é maior que \hat p_{\text{crítico}}=0,021í. Logo, \hat p cai na região de aceitação de H_0 e não rejeitamos H_0.

Resposta

2,1\%, aceita

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