O consumo de combustível de um veículo segue distribuição normal com média 12 \mathrm{~km} / \mathrm{l} e desvio padrão 1,5 \mathrm{~km} / \mathrm{l}. Qual a probabilidade do veículo consumir mais de 14 \mathrm{~km} / \mathrm{l} em um teste?

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que o consumo do veículo seja maior que 14\\ \mathrm{km}/\mathrm{l} num teste, sabendo que:
  • A variável aleatória X (consumo em \mathrm{km}/\mathrm{l}) é normalmente distribuída com média \mu = 12 e desvio padrão \sigma = 1,5. Vou anotar isso em notação matemática:
X \sim N(\mu,\sigma^2)=N\bigl(12,\,1{,}5^{2}\bigr).
  • A pergunta é calcular a probabilidade:
P\bigl(X>14\bigr).

Passo 2

Explicando a ideia fundamental (passo a passo e sem pular etapas):
  • Para uma variável com distribuição normal conhecida, é prático transformar X numa variável normal padrão Z, que tem média 0 e desvio padrão 1. A transformação chama-se padronização e a fórmula é
Z=\frac{X-\mu}{\sigma},
onde \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão de X.
  • A razão para fazer isso é que existe uma tabela (ou função) da distribuição normal padrão que dá valores de \Phi(z)=P(Z\le z). Assim conseguimos transformar qualquer problema envolvendo X em um problema envolvendo Z.
Agora aplico a padronização ao nosso caso:
P\bigl(X>14\bigr)=P\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{14-\mu}{\sigma}\right)=P\!\left(Z>\frac{14-12}{1{,}5}\right).
Calculo o numerador e a divisão com calma:
14-12=2,\qquad \frac{2}{1{,}5}=\frac{4}{3}\approx1{,}333\ldots
Portanto precisamos de
P\bigl(X>14\bigr)=P\bigl(Z>1{,}333\ldots\bigr).

Passo 3

Como obter P(Z>1{,}333\ldots):
  • Definição: \Phi(z)=P(Z\le z). Logo P(Z>z)=1-\Phi(z).
  • Vou usar uma tabela da normal padrão (ou calculadora) para encontrar \Phi(1{,}333\ldots). As tabelas normalmente dão valores em duas casas decimais; pego os valores vizinhos e faço uma interpolação linear simples para maior precisão.
Valores da tabela:
\Phi(1{,}33)=0{,}9082,\qquad \Phi(1{,}34)=0{,}9099.
Como 1{,}333\ldots está a 0{,}0033 acima de 1{,}33, faço interpolação linear:
  • A diferença entre \Phi(1{,}34) e \Phi(1{,}33) é 0{,}9099-0{,}9082=0{,}0017.
  • A fração da distância até 1{,}34 é \dfrac{0{,}0033}{0{,}01}=0{,}333\ldots.
  • Logo incremento aproximado em \Phi é 0{,}333\ldots\times0{,}0017\approx0{,}0005667.
Assim
\Phi\bigl(1{,}333\ldots\bigr)\approx0{,}9082+0{,}0005667\approx0{,}90877.
Portanto
P\bigl(Z>1{,}333\ldots\bigr)=1-\Phi\bigl(1{,}333\ldots\bigr)\approx1-0{,}90877=0{,}09123.

Passo 4

Interpretação, arredondamento e checagem:
  • A probabilidade encontrada é aproximadamente 0{,}0912, ou em porcentagem cerca de 9{,}12\%.
  • Sentido prático: consumir mais de 14\\ \mathrm{km}/\mathrm{l} é pouco provável, porque 14 está cerca de 1{,}33 desvios-padrão acima da média; numa normal, valores a mais de 1 desvio-padrão acima já começam a ser relativamente raros.
  • Se usar uma calculadora ou software (função de CDF normal), obtém-se um valor muito próximo de 0{,}0912, confirmando a interpolação.

Resposta

0,09123 (aprox. 9{,}12\%)

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